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Neues Update zum Thema der goldene kreis


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Sieg auf der Mittelstrecke: Goldene Krönung für Kazmaier Update New

12.3.2022 · Sieg auf der Mittelstrecke: Goldene Krönung für Kazmaier Zhangjiakou (dpa) Goldene Krönung für Linn Kazmaier: Nach dreimal Silber und einmal Bronze hat die 15-Jährige bei den Paralympics in Peking den Sieg über die Mittelstrecke im Langlauf errungen.

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Goldene Krönung für Linn Kazmaier: Nach drei Silber- und einer Bronzemedaille gewann die 15-Jährige bei den Paralympics in Peking die Mitteldistanz im Langlauf

Am Samstag hatte der Teenager der Skigilde Römerstein mit Guide Florian Baumann einen Vorsprung von 39,5 Sekunden auf die Chinesin Yue Wang und sprang im Ziel mit beiden Skiern in die Luft

Kazmaier ist der zweitjüngste Athlet bei den gesamten Beijing Games

Und auch ziemlich unwirklich», sagte Kazmaier

Dass die fünfte Medaille sogar die goldene war, sei „unglaublich

Darüber freue ich mich sehr

Aber ich bin so jung, ich habe noch so viel Zeit

Es wäre kein Beinbruch, wenn ich nicht Gold gewonnen hätte.” Außerdem dachte die 15-Jährige an ihre Eltern, mit denen sie kurz nach dem Sieg via ARD sprach: “Das wird eine sehr harte Nacht für Sie

Sie mussten um vier Uhr aufstehen, um das Rennen zu sehen

Und jetzt werden wir sicher noch lange feiern.” Ihre drei Jahre ältere Mitbewohnerin Leonie Walter, die Gold im Biathlon über die Mitteldistanz und drei Bronzemedaillen in China gewann, war am Samstag nicht am Start

Die dritte Deutsche, Johanna Recktenwald aus St

Wendel, belegte Rang 5

Auch wenn die 20-Jährige im Gegensatz zu ihren beiden jüngeren Kolleginnen zweimal als Vierte und dreimal als Fünfte knapp an Medaillen vorbeischrammte, war sie zufrieden.“ Es war eine tolle Erfahrung, coole Spiele

Es war der erste, hoffentlich kommen noch viele weitere», sagte der Saarländer, der erst vor sechs Jahren zum ersten Mal auf Langlaufskiern stand

„Ich habe ab und zu gehofft, dass vielleicht etwas klappt“, sagte sie über ihre Medaillen-Hoffnungen: „Aber nach so kurzer Zeit, in der ich den Sport mache, bin ich sehr zufrieden.“

Dein Warum – der goldene Kreis – New Update

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 Update  Dein Warum - der goldene Kreis -
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Liste der DEFA-Spielfilme – Wikipedia Update New

Die Liste der DEFA-Spielfilme enthält eine Aufstellung aller vom DEFA-Studio für Spielfilme realisierten Filmproduktionen, sowie Co-Produktionen mit dem Fernsehen der DDR bzw. mit Produktionsfirmen anderer – zumeist sozialistischer – Staaten. Allen gemein ist, dass die Filme im Kino der DDR aufgeführt wurden bzw. einige Verbotsfilme nach dem Ende der DDR.

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Die Liste der DEFA-Spielfilme enthält eine Auflistung aller Filmproduktionen des DEFA-Studios für Spielfilme sowie Koproduktionen mit dem DDR-Fernsehen oder mit Produktionsfirmen aus anderen – meist sozialistischen – Ländern

Allen gemeinsam ist, dass die Filme in DDR-Kinos gezeigt wurden oder einige Filme nach dem Ende der DDR verboten wurden

Das Datum der Uraufführung wurde, wo angegeben, der Website der DEFA-Stiftung entnommen

Es gibt keine reinen Fernsehfilme und -serien, die die DEFA im Auftrag des Deutschen Fernsehens (DFF) produziert

Ebenfalls fehlen in dieser Liste die satirischen Kurzfilme, die sogenannten „Stacheltiere“

Seit 2019 werden DEFA-Spielfilme als Teil des gesamten Filmerbes der DEFA über die Archivplattform Progress Film zugänglich und lizenzierbar gemacht.[1] Die Filmproduktionsfirmen der DDR [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Entgegen der landläufigen Meinung gab es in der DDR eine Reihe von Filmstudios und Produzenten

Dazu gehörten: Privatrechtlich organisierte Unternehmen (z

B

Studio H&S)

Studios in Institutionen und Ministerien (z

B

das Filmstudio der Zentralen Forschungsanstalt für Arbeit, Filmstudio der NVA)

, ) Studios, die zu Unternehmen gehörten (z

B

das Filmstudio der Deutschen Reichsbahn, Filmstudio „derzeit“ der SDAG Wismut) sowie

, SDAG Wismut) und Studios für freie Filmemacher (z.B

Filmstudio Lustermann in Erfurt)

Daneben gab es zahlreiche Amateur- und semiprofessionelle Filmstudios, die von Firmen und Massenorganisationen getragen wurden und oft hauptamtliche Direktoren und Angestellte hatten oder deren Mitarbeiter von anderen Arbeitsverpflichtungen in ihren Betrieben freigestellt waren

Eine weitere Institution, die eigene Filme produzierte, war die Hochschule für Film und Fernsehen Potsdam (HFF)

Die Hauptförderer der Filmproduktion in der DDR – und damit auch die größten Produzenten – waren jedoch die DEFA, die 1946 als Deutsche Film AG gegründet wurde, und das Fernsehen der DDR

Jahr : gibt das Jahr an, in dem der Film fertiggestellt wurde; dieses kann vom Uraufführungsjahr abweichen, wenn der Film z

B

(vorübergehend) verboten wurde; der erste Filmtitel eines neuen Jahres wird farblich hervorgehoben

: nennt das Jahr, in dem der Film fertiggestellt wurde; dieses kann vom Uraufführungsjahr abweichen, wenn der Film z

B

(vorübergehend) verboten wurde; der erste Filmtitel eines neuen Jahres wird farblich hervorgehoben Titel : nennt den Titel des Films, bei unterschiedlichen Produktionsländern werden die Aufführungstitel aller Länder genannt, wobei der Aufführungstitel der DDR an erster Stelle steht

: nennt den Titel des Films, bei unterschiedlichen Produktionsländern werden die Aufführungstitel aller Länder genannt, wobei der Aufführungstitel der DDR an erster Stelle steht Regisseur : nennt den oder die Regisseure des Films

: Nennt den oder die Regisseure des Films Erstveröffentlichungsdatum : Nennt das Erstveröffentlichungsdatum

: gibt das Datum der Uraufführung an Sonstiges: gibt Besonderheiten des Films an, zB ob es sich um einen Schwarz-Weiß-Film handelt oder bei welcher Produktionsgruppe (HG) oder künstlerischen Arbeitsgemeinschaft (KAG) der Film entstanden ist

Der goldene Kreis Update

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Der goldene Kreis New Update

Goldener Schnitt – Wikipedia Update

Der Goldene Winkel (,) ist der Kreiswinkel des kleineren Kreisbogens, wenn er mit dem größeren Kreisbogen einen Kreis vom Umfang + bildet und das Verhältnis : dem Goldenen Schnitt entspricht Der Goldene Winkel wird erhalten, wenn der Vollwinkel im Goldenen Schnitt geteilt wird.

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Φ = a b = a + b a {\displaystyle \Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}} Proportionen im goldenen Schnitt eines Segments:

Der goldene Schnitt (lat

sectio aurea, proportio divina) ist das Teilungsverhältnis einer Strecke oder sonstigen Größe, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (auch Dur genannt) gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil ist (der Minderjährige)

Mit a {\displaystyle a} als Dur und b {\displaystyle b} als Moll gilt:

a + ba = ab {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}} aa + b = ba {\displaystyle {\frac {a}{a+b }}={\frac {b}{a}}}

Das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts, das durch Teilen dieser Größen als Zahl berechnet wird, ist eine irrationale Zahl, d

h

eine Zahl, die nicht als Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden kann

Diese Zahl wird auch Goldener Schnitt oder Goldene Zahl genannt

Das mathematische Symbol für diese Zahl ist meist der griechische Buchstabe Phi ( Φ {\displaystyle \Phi } , ϕ {\displaystyle \phi } oder φ {\displaystyle \varphi } , heutige Aussprache [fi:]), seltener Tau ( T {\displaystyle \mathrm {T} } , τ {\displaystyle \tau } ) oder g {\displaystyle g} verwendet wird:

Φ = ab = a + ba = 1 + 5 2 ≈ 1,618 0339887 {\displaystyle \Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}={\frac {1 +{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,6180339887}

Die Kenntnis des Goldenen Schnitts ist seit dem antiken Griechenland (Euklid von Alexandria) in der mathematischen Literatur dokumentiert

Gelegentlich, bereits im späten Mittelalter (Campanus von Novara) und besonders dann in der Renaissance (Luca Pacioli, Johannes Kepler), wurde es auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt

Seit dem 19

Jahrhundert wird es als Idealprinzip ästhetischer Proportionen zunächst in der ästhetischen Theorie (Adolf Zeising) und dann auch in der künstlerischen, architektonischen und handwerklichen Praxis geschätzt

Empirische Belege für eine besondere ästhetische Wirkung, die von den Proportionen des Goldenen Schnitts ausgeht, gibt es jedoch nicht.[1] Schon der Begründer der empirischen Ästhetik, Gustav Theodor Fechner, stellte aufgrund eigener Experimente fest: „Danach komme ich nicht umhin, den ästhetischen Wert des Goldenen Schnitts überschätzt zu finden.“[2] Die historische Frage, ob die Der Goldene Schnitt war bereits Die Proportionierung von Kunstwerken und Gebäuden aus älteren Epochen ist umstritten

Das Verhältnis des Goldenen Schnitts ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur wichtig, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise in der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder.

Definition und elementare Eigenschaften [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Eine Strecke AB ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} } der Länge s {\displaystyle s} wird durch einen inneren Punkt T {\displaystyle \mathrm {T} } so geteilt, dass das Längenverhältnis a { \displaystyle a} des größeren Abschnitts AT ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AT}} } zur Länge b {\displaystyle b} des kleineren Abschnitts TB ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {TB }} } das Verhältnis der Gesamtstreckenlänge s = a + b {\displaystyle s=a+b} gleich der Länge a {\displaystyle a} des größeren Abschnitts ist

Also AB ¯ : AT ¯ = AT ¯ : TB ¯ {\displaystyle \mathrm {{\overline {AB}}:{\overline {AT}}={\overline {AT}}:{\overline {TB} }} } oder ( a + b ) : a = a : b {\displaystyle (a+b):a=a:b}

Diese Teilung wird Goldener Schnitt der Strecke A B ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} } genannt

Man sagt dann, dass der Punkt T {\displaystyle \mathrm {T} } die Strecke AB ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} } im goldenen Schnitt teilt, oder auch von der stetigen Teilung der Strecke AB ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} } durch den Punkt T {\displaystyle \mathrm {T} }

Das Verhältnis a : b {\displaystyle a:b} der Abschnitte AT ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AT}} } und TB ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {TB}} } wird als golden bezeichnet Anzahl

[3][4]

Eine einfache Rechnung zeigt: Φ = ab = 1 + 5 2 ≈ 1,618 0339887 {\displaystyle \Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2} }\ \approx \ 1{.}6180339887}

Wird ein Segment im goldenen Schnitt s {\displaystyle s} geteilt, so gilt der längere Abschnitt

a = s Φ = − 1 + 5 2 s = ( Φ − 1 ) s ≈ 0,618 s {\displaystyle a=\ {\frac {s}{\Phi }}={\frac {-1+{\sqrt { 5}}}{2}}s=(\Phi -1)s\ \ungefähr \ 0,618s}

und für die kürzere

b = s − s Φ = 3 − 5 2 s = ( 2 − Φ ) s ≈ 0,382 s {\displaystyle b=\ s-{\frac {s}{\Phi }}={\frac {3-{\ sqrt {5}}}{2}}s=(2-\Phi )s\ \approx \ 0.382s} b = s Φ 2 = 4 6 + 2 5 s ≈ 0.382 s {\displaystyle b=\ {\frac {s}{\Phi ^{2}}}={\frac {4}{6+2{\sqrt {5}}}}s\ \approx \ 0,382s}

Die goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden

Es ist jedoch eine algebraische Zahl vom Grad 2 und kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden

Außerdem ist sie besonders schwierig durch Brüche zu approximieren.[* 1] Aus diesem Grund wird sie in der Literatur manchmal auch als die irrationalste Zahl bezeichnet.[ 5] Diese Eigenschaft wird im Abschnitt Näherungseigenschaften der näher erläutert goldene Zahl

Geometrische Aussagen [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Als Konstruktionsverfahren werden nach Euklids Postulaten nur solche Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Maßstab) beschränken

Es gibt eine Fülle solcher Methoden zur Teilung einer Distanz im Verhältnis des Goldenen Schnitts, von denen im Folgenden nur einige beispielhaft genannt werden

Es wird zwischen innerer und äußerer Teilung unterschieden

Bei der äußeren Teilung wird der in Verlängerung der Anfangslinie außen liegende Punkt gesucht, der die bestehende Linie zum (größeren) Teil des Goldenen Schnitts macht

Der Goldene Schnitt stellt einen Sonderfall der harmonischen Teilung dar

Zwei moderne Konstruktionen, die von Künstlern gefunden wurden, sind ebenfalls unten aufgeführt

Interne Aufteilung [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Klassische Methode der inneren Teilung, beliebt wegen ihrer Einfachheit: Konstruiere auf Linie AB im Punkt B eine Senkrechte von der halben Länge von AB mit Endpunkt C

Der Kreis um C mit Radius CB schneidet AC im Punkt D

Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt den Abstand AB im Punkt S in Bezug auf den Goldenen Schnitt

Innere Teilung nach Euklid: 1781 beschrieb Johann Friedrich Lorenz in seinem Buch Euklids Elemente folgende Aufgabe von Euklid: „Eine gegebene Gerade AB so zu schneiden, dass das Rechteck aus dem Ganzen und einem der Abschnitte besteht , the square of the other section be equal.“[6] Das Ergebnis der nebenstehenden Animation zeigt, dass die Strecke AB in einem Verhältnis geteilt wird, das heute als goldener Schnitt mit interner Teilung bezeichnet wird, wobei sich eine vereinfachte Konstruktion bewährt hat eine Darstellung dieser Methode, siehe linkes Bild: Auf der Strecke AB eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C im Punkt A aufstellen

Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Punkt S im Verhältnis des Goldenen Schnitts Konstruktion nach dem österreichischen Künstler Kurt Hofstetter, die er 2005 im Forum Geometricorum[7] veröffentlichte: Halbiere die Gerade AB in M ​​mit Linienbise Kreise mit Radius AB und konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge AB und C unter AB

Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck MBD mit Schenkellänge AB über der Grundlinie MB Die Strecke CD teilt die Strecke AB im Punkt S im Verhältnis des Goldenen Schnitts

Äußere Teilung [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Klassische Methode mit externer Teilung: Konstruiere ein Lot der Länge AS mit dem Endpunkt C auf der Strecke AS im Punkt S

Konstruiere die Mitte M der Strecke AS

Der Kreis um M mit Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B

S teilt AB nach dem Goldenen Schnitt

Dieses Verfahren ist z

B

für den Bau des Fünfecks mit vorgegebener Seitenlänge verwendet

Konstruktion nach dem amerikanischen Künstler George Odom, die er 1982 entdeckte: Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck

Konstruieren Sie den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft

Halbiere zwei Seiten des Dreiecks an den Punkten A und S

Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis an Punkt B

S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnitts Golden Circle – ein dem Goldenen Schnitt angepasster Reduktionskreis – verwendet

Ein ähnliches Instrument in Form eines Storchschnabels wurde insbesondere in der Tischlerei verwendet.[* 2]

Der goldene Schnitt im Fünfeck und das Pentagramm [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Das regelmäßige Fünfeck und das Pentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der die Beziehung des Goldenen Schnitts immer wieder auftaucht

Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks z

B

im goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen steht

Die Diagonalen teilen sich wiederum im goldenen Schnitt, d.h

Das heißt, AD ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AD}} } ist verwandt mit BD ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {BD}} } wie BD ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {BD} } } zu CD ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {CD}} }

Der Beweis nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.

Besonders eng mit dem Goldenen Schnitt verwandt ist das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte

Für jedes Segment und Segment des Pentagramms gibt es einen Partner, der mit dem Goldenen Schnitt verwandt ist

In der Abbildung sind alle drei möglichen Routenpaare blau (längere Route) und orange (kürzere Route) markiert

Sie können nacheinander mit dem oben beschriebenen Verfahren der kontinuierlichen Teilung erzeugt werden

Es kann im Prinzip in das reduzierte Pentagramm fortgesetzt werden, das in das innere Fünfeck und damit in alle anderen gezogen werden könnte

Wenn die beiden Abstände in einem ganzzahligen Verhältnis stehen, müsste dieser Prozess der fortgesetzten Subtraktion schließlich auf Null hinauslaufen und damit aufhören

Ein Blick auf das Pentagramm zeigt jedoch deutlich, dass dies nicht der Fall ist

Eine Weiterentwicklung dieser Geometrie findet sich in den Penrose-Fliesen

Um zu beweisen, dass es sich um den goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass zusätzlich zu den vielen Liniensegmenten, die aus offensichtlichen Gründen der Symmetrie gleich lang sind, CD ¯ = CC ′ ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {CD} }} ={\overline {\mathrm {CC’} }}} gilt

Der Grund dafür ist, dass das Dreieck △ DCC ′ {\displaystyle \triangle \mathrm {DCC^{\prime }} } zwei gleiche Winkel hat, etwa durch Parallelverschiebung der Strecke CC ′ ¯ {\displaystyle \mathrm {\ overline {CC^{ \prime }}} } erkennbar und ist daher gleichschenklig

Nach dem Strahlensatz gilt: AB ¯ BB ′ ¯ = AC ¯ CC ′ ¯ {\displaystyle {\frac {\overline {\mathrm {AB} }}{\overline {\mathrm {BB’} }}}={ \frac {\overline {\ mathrm {AC} }}{\overline {\mathrm {CC’} }}}}

Wenn AC ¯ = AB ¯ + BC ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {AC} }}={\overline {\mathrm {AB} }}+{\overline {\mathrm {BC} }}} ersetzt wird und Wird die Gleichheit der vorkommenden Schnitte beachtet, so ergibt sich genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt.

Goldenes Rechteck und Goldenes Dreieck [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem goldenen Schnitt entspricht, wird als goldenes Rechteck bezeichnet; Ebenso wird ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Seiten in diesem Verhältnis als goldenes Dreieck bezeichnet

Für einen Vergleich von Rechteckproportionen siehe den Abschnitt Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen

Ein goldenes Dreieck ist in der Methode der inneren Teilung in den Konstruktionsmethoden enthalten Schnitt.

Goldener Winkel [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

≈ 137. 5 ∘ {\displaystyle \approx 137{.}5^{\circ }} b {\displaystyle b} a {\displaystyle a} a + b {\displaystyle a+b} a : b {\displaystyle a :b} Der goldene Winkel () ist der Kreiswinkel des kleineren Bogens, wenn dieser mit dem größeren Bogen einen Umfangskreis bildet und das Verhältnis dem goldenen Schnitt entspricht

Den goldenen Winkel erhält man, indem man den vollen Winkel im goldenen Schnitt teilt

Daraus ergibt sich der Reflexionswinkel 2πΦ ≈ 3,88 ≈ 222,5∘

{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{\Phi }}\approx 3,88\approx 222,5^{\circ }.} Normalerweise wird seine Vollendung jedoch zu einem Vollwinkel, 2 π − 2 π Φ ≈ 2,40 ≈ 137,5 ∘ {\displaystyle 2\pi -{\tfrac {2\pi }{\Phi }}\approx 2,40\approx 137,5^{\circ }} genannt der Goldene Winkel

Begründet wird dies damit, dass Drehungen um ± 2 π {\displaystyle \pm 2\pi } keine Rolle spielen und das Vorzeichen nur die Drehrichtung des Winkels angibt

Wiederholte Rotationen um den goldenen Winkel ergeben immer wieder neue Positionen, zum Beispiel für die Leaf-Basen im Bild

Wie bei jeder irrationalen Zahl wird es niemals genaue Deckungen geben

Da die goldene Zahl die „irrationalste“ Zahl im nachfolgend beschriebenen Sinne ist, ergibt sich insgesamt, dass die die Photosynthese behindernde Überlappung der Blätter minimiert wird.

Die ersten n {\displaystyle n} Positionen teilen den Kreis in n {\displaystyle n} Abschnitte

Diese n {\displaystyle n} Abschnitte haben höchstens drei verschiedene Winkel

Bei einer Fibonacci-Zahl n = fk {\displaystyle n=f_{k}} gibt es nur zwei Winkel 2 π Φ k − 1 , 2 π Φ k {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{\Phi ^{ k-1}}},{\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k}}}}

Für fk < n < fk + 1 {\displaystyle f_{k}

Betrachtet man die immer weiter verfeinernden Zerlegungen des Kreises für zunehmende n {\displaystyle n}, dann teilt die ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -te Stelle immer einen der verbleibenden größten Abschnitte, nämlich immer den im Verlauf der zuerst aufgetretenen Teilungen, d

h

der “älteste” Abschnitt

Diese Teilung erfolgt im Goldenen Schnitt, sodass im Uhrzeigersinn gesehen ein Winkel 2 π Φ l {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{\Phi ^{l}}}} mit einem geraden l {\displaystyle l} vor einem Winkel 2 π Φ l ± 1 {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{\Phi ^{l\pm 1}}}} mit ungeradem l ± 1 {\displaystyle l\pm 1}.[ 9]

Wenn wir den Abschnitt mit dem Winkel 2 π Φ k {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k}}}} mit wk {\displaystyle w_{k}} bezeichnen, erhalten wir die Kreiszerlegungen eins nach dem anderen

w 0 , {\displaystyle \ w_{0},} w 2 w 1 , {\displaystyle \ w_{2}w_{1},} w 2 w 2 w 3 , {\displaystyle \ w_{2}w_{2 }w_{3},} w 4 w 3 w 2 w 3 , {\displaystyle \ w_{4}w_{3}w_{2}w_{3},} w 4 w 3 w 4 w 3 w 3 , { \displaystyle \ w_{4}w_{3}w_{4}w_{3}w_{3},} w 4 w 3 w 4 w 3 w 4 w 5 , {\displaystyle \ w_{4}w_{3} w_{4}w_{3}w_{4}w_{5},} w 4 w 4 w 5 w 4 w 3 w 4 w 5 , {\displaystyle \ w_{4}w_{4}w_{5}w_ {4}w_{3}w_{4}w_{5},} w 4 w 4 w 5 w 4 w 4 w 5 w 4 w 5 , {\displaystyle \ w_{4}w_{4}w_{5} w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5},} w 6 w 5 w 4 w 5 w 4 w 4 w 5 w 4 w 5 , {\displaystyle \ w_{6}w_ {5}w_{4}w_{5}w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5},} w 6 w 5 w 4 w 5 w 6 w 5 w 4 w 5 w 4 w 5 {\displaystyle \ w_{6}w_{5}w_{4}w_{5}w_{6}w_{5}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5}} usw

.Goldene Spirale [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , … {\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots } Goldene Spirale, angenähert durch Quadranten

Das Verhältnis der Radien der Kreissektoren entspricht der Fibonacci-Folge

Die goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale

Diese Spirale kann konstruiert werden, indem ein goldenes Rechteck rekursiv in ein Quadrat und ein weiteres, kleineres goldenes Rechteck geteilt wird (siehe nebenstehendes Bild)

Es wird oft durch eine Folge von Viertelkreisen angenähert

Sein Radius ändert sich um den Faktor Φ {\displaystyle \Phi }. [* 3] für jede Drehung um 90°

Es gilt

r ( θ ) = aek θ = a Φ 2 θ π {\displaystyle \textstyle r(\theta )=ae^{k\theta }=a\Phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}}

mit der Steigung k = ± ln ⁡ Φ α ⌞ {\displaystyle \textstyle k=\pm {\frac {\ln {\Phi }}{\alpha _{\llcorner }}}} , wobei α ⌞ {\displaystyle \ alpha _{\llcorner }} ist der Zahlenwert für den rechten Winkel, also 90° oder π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}, also k = 2 ln ⁡ ( Φ ) π { \ displaystyle \textstyle k={\frac {2\ln(\Phi )}{\pi }}} mit der goldenen Zahl Φ = 5 + 1 2 {\displaystyle \textstyle \Phi ={\frac {{\sqrt { 5 }}+1}{2}}}.

Daher ist die Steigung:

| k | ≈ 0,005 346 798 / Grad ≈ 0,306 348 963 / Radiant ≈ 0,481 211 825 / ⌞ {\displaystyle \textstyle |k|\mathrm {\ \ungefähr \ 0,005\ 346\ 798/_{\!Grad }\ungefähr 0,306\ 348\ 963/_{\!rad}\approx 0.481\ 211\ 825/_{\!\llcorner }} }

Die Goldene Spirale zeichnet sich unter den logarithmischen Spiralen durch folgende Eigenschaft aus

Seien P 1 , P 2 , P 3 , P 4 {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}} vier aufeinanderfolgende Schnittpunkte auf der Spirale mit einer geraden Linie durch die Mitte

Dann sind die beiden Punktpaare P 1 , P 4 {\displaystyle P_{1},P_{4}} und P 2 , P 3 {\displaystyle P_{2},P_{3}} harmonisch konjugiert, dh für ihre es gilt das doppelte Verhältnis[10]

( P θ , P θ + 3 π ; P θ + π , P θ + 2 π ) = ( − Φ 6 − Φ 4 ) ( − Φ 2 − 1 ) ( − Φ 6 + Φ 2 ) ( + Φ 4 − 1 ) = − Φ 2 ( − Φ 2 + 1 ) 2 = − 1

{\displaystyle (P_{\theta},P_{\theta +3\pi };\ P_{\theta +\pi },P_{ \theta +2\pi })={\frac {(-\Phi ^{6}-\Phi ^{4})(-\Phi ^{2}-1)}{(-\Phi ^{6} +\Phi ^{2})(+\Phi ^{4}-1)}}={\frac {-\Phi ^{2}}{(-\Phi ^{2}+1)^{2} }}=-1.}

Goldener Schnitt im Ikosaeder [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die 3 goldenen Rechtecke (hellgrün, grün, pink) bilden mit ihren 4 Ecken jeweils die 12 Ecken (hier 9 sichtbar) eines Ikosaeders

Die 12 Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von 3 gleich großen, senkrecht zueinander stehenden Rechtecken mit einem gemeinsamen Zentrum und den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnitts

Diese Anordnung der 3 Rechtecke wird auch Golden Ratio Chair genannt

Da das Ikosaeder zum Pentagondodekaeder dual ist, bilden die 12 Zentren der Fünfecke auch die Ecken eines Stuhls im Goldenen Schnitt

Mathematische Eigenschaften [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Ableitung des Zahlenwertes [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die in der Einleitung gegebene Definition

ein b = ein + b ein {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}

ist mit gelöster rechter Seite und nach Umlagerung

ein b − 1 − b ein = 0 {\displaystyle {\frac {a}{b}}-1-{\frac {b}{a}}=0}

oder mit a b = Φ {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}=\Phi } wie folgt:

Φ − 1 − 1 Φ = 0 {\displaystyle \Phi -1-{\frac {1}{\Phi }}=0}

Die Multiplikation mit Φ {\displaystyle \Phi } ergibt die quadratische Gleichung

Φ 2 − Φ − 1 = 0 {\displaystyle \Phi ^{2}-\Phi -1=0}

mit den beiden Lösungen 1 + 5 2 = 1,618 … {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,618\ldots } und 1 − 5 2 = − 0,618 … {\displaystyle { \tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0{.}618\ldots } , die man beispielsweise durch Anwendung der Mitternachtsformel oder durch Vervollständigung des Quadrats erhält

Da von diesen beiden Werten nur der positive für die goldene Zahl in Frage kommt

Φ = 1 + 5 2 = 1,618 … {\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,618\ldots }

Dur a = 1 {\displaystyle a=1} Φ = 1 2 ( 5 + 1 ) {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)} Moll b = 1 2 ( 5 − 1 ) {\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)} Geometrische Ableitung, siehe Animation liefert die goldene Zahl

Der Ansatz ist die in der Einleitung gegebene Definition

Φ = ein b = ein + b ein {\displaystyle \Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}

mit einem Dur a = 1 {\displaystyle a=1}.

Auf einem Zahlenstrahl wird zuerst der Zahlenwert 0 {\displaystyle 0} als Punkt A {\displaystyle \mathrm {A} } bezeichnet und dann das Dur a { \displaystyle a } als Zahlenwert 1 {\displaystyle 1}, was den Schnittpunkt S {\displaystyle \mathrm {S} } ergibt

Nach dem Aufstellen der Senkrechten auf die Linie AS ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AS}} } in S {\displaystyle \mathrm {S} } } aus dem Punkt S {\displaystyle \mathrm {S} } wird die Linie AS ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AS}} } auf der Senkrechten entsteht der Schnittpunkt C {\displaystyle \mathrm {C} } }

Halbiert man nun A S ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AS}} } in M ​​​​{\displaystyle \mathrm {M} } } ergibt das den Zahlenwert 1 2

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.} Die Punkte M , S {\displaystyle \mathrm {M,S} } und C {\displaystyle \mathrm {C} } sind die Eckpunkte des rechten Winkels Dreieck mit den Schenkeln MS ¯ = 1 2 {\displaystyle \mathrm {\overline {MS}} ={\tfrac {1}{2}}} und SC ¯ = 1 {\displaystyle \mathrm {{\overline {SC} }=1} }.

Mit dem Satz des Pythagoras

MC ¯ 2 = ( 1 2 ) 2 + 1 2 = 5 4 {\displaystyle \mathrm {\overline {MC}} ^{2}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{ 2}+1^{2}={\frac {5}{4}}}

man erhält also die Hypotenuse M C ¯ = 5 2

{\displaystyle \mathrm {\overline {MC}} ={\frac {\sqrt {5}}{2}}.}

Schließlich wird ein Kreisbogen um M {\displaystyle \mathrm {M} } (Zahlenwert 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} ) mit dem Radius 5 2 , {\displaystyle {\tfrac {\ sqrt {5}}{2}},} die den Zahlenstrahl in B {\displaystyle \mathrm {B} } schneidet, das kleinere b {\displaystyle b} als Segment SB ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {SB} } } und gibt den Zahlenwert 1 2 + 5 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {5}}{2}}} zurück

Der Zahlenwert von Φ {\displaystyle \Phi } lässt sich somit direkt am Zahlenstrahl ablesen:

AB ¯ = a + b = 1 2 + 5 2 = ^ Φ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} =a+b={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt { 5}}{2}}\;\mathrel {\widehat {=}} \;\Phi }

Zusammenfassend ist es auch so

Φ = 1 + 5 2 = 1,618 … {\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,618\ldots }

Die goldenen Zahlen [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Goldene Zahlenfolge für a 0 = 1 z {\displaystyle z} az = Φ z ⋅ a 0 {\displaystyle a_{z}=\Phi ^{z}\cdot a_{0}} 0 4 ≈ 6,854 Φ 4 = 3 ⋅ Φ + 2 {\displaystyle \Phi ^{4}=3\cdot \Phi +2} 0 3 ≈ 4,236 Φ 3 = 2 ⋅ Φ + 1 {\displaystyle \Phi ^{3}=2\cdot \Phi + 1 } 0 2 ≈ 2,618 Φ 2 = Φ + 1 {\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi +1} 0 1 ≈ 1,618 Φ {\displaystyle \Phi } ±0 = 1 ,000 Φ 0 = 1 {\ displaystyle \Phi ^{0}=1} −1 ≈ 0,618 Φ − 1 = Φ − 1 {\displaystyle \Phi ^{-1}=\Phi -1} −2 ≈ 0,382 Φ − 2 = − Φ + 2 { \ displaystyle \Phi ^{-2}=-\Phi +2} −3 ≈ 0,236 Φ − 3 = 2 ⋅ Φ − 3 {\displaystyle \Phi ^{-3}=2\cdot \Phi -3} −4 ≈ 0,146 Φ − 4 = − 3 ⋅ Φ + 5 {\displaystyle \Phi ^{-4}=-3\cdot \Phi +5}

Für eine gegebene Zahl a 0 {\displaystyle a_{0}} eine Folge az := a 0 Φ z {\displaystyle \ a_{z}:=a_{0}\Phi ^{z}\ } für z ∈ Konstruiere Z {\displaystyle z\in \mathbb {Z}}

Diese Folge hat die Eigenschaft, dass jeweils drei aufeinanderfolgende Terme ( az − 1 , az , az + 1 ) {\displaystyle (a_{z-1},a_{z},a_{z+1})} einen Goldenen Schnitt bilden, das heißt, es gilt

azaz − 1 = az + 1 az {\displaystyle {\frac {a_{z}}{a_{z-1}}}={\frac {a_{z+1}}{a_{z}}}} az + 1 = az + az − 1 {\displaystyle a_{z+1}=a_{z}+a_{z-1}} z ∈ Z {\displaystyle z\in \mathbb {Z} }

Diese Reihenfolge spielt in der Proportionslehre in Kunst und Architektur eine wichtige Rolle, da bei gegebener Länge a 0 {\displaystyle a_{0}} andere harmonisch erscheinende Längen erzeugt werden können

So lassen sich Objekte mit sehr unterschiedlichen Maßen, wie Fenster- und Raumbreiten, über den Goldenen Schnitt in Beziehung setzen und ganze Reihen harmonischer Maße erstellen

Erwähnenswert ist, dass für a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1 } die Nachkommastellen für a − 1 {\displaystyle a_{-1}} , a 1 {\displaystyle a_{1}} und a 2 {\displaystyle a_{2}} unterscheiden sich nicht, weil sie positiv sind und die Differenz zwischen ihnen ganzzahlig ist

Die Nachkommastellen sind immer , 618 033 988 75 … {\displaystyle \ {,}618\ 033\ 988\ 75\ldots } mit einem ganzzahligen Anteil von ⌊ x ⌋ = 0 , 1 {\displaystyle \lfloor x\rfloor =0 ,\ 1} oder 2 {\displaystyle 2}.

Verwandt mit Fibonacci-Zahlen [ edit | Quelle bearbeiten ]

Verhältnisse von aufeinanderfolgenden

Fibonacci-Zahlen fn {\displaystyle f_{n}} fn + 1 {\displaystyle f_{n+1}} fn + 1 fn {\displaystyle {\frac {f_{n+1}}{f_{n}}} } Abweichung

See also  Best sonnenschutz büro New

bis Φ {\displaystyle \Phi } 0 1 0 1 = 1,0000 −38 ,0000 0 1 0 2 = 2,0000 +23 ,0000 0 2 0 3 = 1,5000 −7,3 00 0 3 0 5 ≈ 1,6667 +3,0 00 0 5 0 8 = 1,6000 -1,1 00 0 8 13 = 1,6250 +0,43 0 13 21 ≈ 1.6154 -0,16 0 21 34 ≈ 1.6190 +0.063 34 55 ≈ 1,6176 -0.024 55 89 ≈ 1,6182 0 +0.0091 89 144 ≈ 1,6180 0 -0.0035 144 233 ≈ 1.6181 0 +0,0013

Die unendliche Folge der Fibonacci-Zahlen ist eng mit dem Goldenen Schnitt verwandt (siehe die Abschnitte zum Mittelalter und zur Renaissance weiter unten): 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , … {\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,\ldots }

Die nächste Zahl in dieser Folge ergibt sich aus der Summe der beiden vorherigen

Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen in der Fibonacci-Folge tendiert zum goldenen Mittel (siehe Tabelle)

Das rekursive Bildungsgesetz f n + 1 = f n + f n − 1 {\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}} bedeutet nämlich

fn + 1 fn = fn + fn − 1 fn = 1 + fn − 1 fn {\displaystyle {\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}={\frac {f_{n}+f_ {n-1}}{f_{n}}}=1+{\frac {f_{n-1}}{f_{n}}}}

Wenn dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert Φ {\displaystyle \Phi } konvergiert, muss dafür folgendes gelten

Φ = 1 + 1 Φ {\displaystyle \Phi =1+{\frac {1}{\Phi }}}

Dieses Argument gilt auch für verallgemeinerte Fibonacci-Folgen mit zwei beliebigen Anfangstermen Berechnen Sie die Binet-Formel: fn = 1 5 ( Φ n − Φ ¯ n ) {\displaystyle f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}} }(\Phi ^{n}-{\bar {\Phi }} ^{n})} Φ ¯ = 1 − Φ = − 1 Φ = 1 − 5 2 {\displaystyle {\bar {\Phi }}= 1-\Phi =-{\frac {1}{\Phi }} ={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}

Diese Formel liefert die korrekten Anfangswerte f 0 = 0 {\displaystyle f_{0}=0} und f 1 = 1 {\displaystyle f_{1}=1} und erfüllt die rekursive Gleichung fn + 1 = fn + fn − 1 { \displaystyle f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}} für alle n {\displaystyle n} mit n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}. [* 4]

Näherungseigenschaften der Goldenen Zahl [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Wie oben erwähnt, ist die goldene Zahl eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann

Sie wird manchmal als die „irrationalste“ aller Zahlen bezeichnet, weil sie sich (in einem speziellen zahlentheoretischen Sinne) besonders schlecht durch rationale Zahlen annähern lässt (diophantische Approximation)

Dies soll im Folgenden durch einen Vergleich mit der ebenfalls irrationalen Kreiszahl π {\displaystyle \pi } verdeutlicht werden

Letzteres lässt sich viel besser approximieren als Φ {\displaystyle \Phi } , beispielsweise lässt sich π {\displaystyle \pi } durch den Bruch 22 7 {\displaystyle {\tfrac {22}{7}}} mit einer Abweichung bestimmen von nur ungefähr ungefähr 0,00126

Solch ein kleiner Fehler wäre im Allgemeinen nur bei einem viel größeren Nenner zu erwarten.[11]

Die Goldene Zahl lässt sich direkt aus der Forderung nach möglichst schlechter Approximation durch rationale Zahlen konstruieren

Um dies zu verstehen, betrachten Sie das folgende Verfahren zur Annäherung einer beliebigen Zahl durch einen Bruch, wobei die Zahl π {\displaystyle \pi } als Beispiel verwendet wird

Zuerst wird diese Zahl in ihren ganzzahligen Teil und einen Rest zerlegt, der kleiner als 1 {\displaystyle 1} ist: π = 3 + rest {\displaystyle \pi =3+{\text{remainder}}}

Der Kehrwert dieses Rests ist eine Zahl größer als 1 {\displaystyle 1}

Es kann daher in einen ganzzahligen Teil und einen Rest kleiner als 1 {\displaystyle 1} : π = 3 + 1 7 + rest {\displaystyle \pi =3+{\tfrac {1}{7+{\text {Rest}}}}}

Wenn dieser Rest und alle folgenden Reste gleich behandelt werden, folgt die unendliche Kettenbruchentwicklung der Zahl π {\displaystyle \pi }

π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + ⋯ {\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+\ Punkteb }}}}}}}

Wird diese Kettenbruchzerlegung nach endlich vielen Schritten abgebrochen, so sind für π {\displaystyle \pi } die bekannten Näherungen 3 {\displaystyle 3} , 22 7 {\displaystyle {\tfrac {22}{7}}} , 333 106 {\ displaystyle {\tfrac {333}{106}}} , 355 113 {\displaystyle {\tfrac {355}{113}}} , … die schnell zu π {\displaystyle \pi } tendieren

Für jeden dieser Brüche gibt es keinen Bruch mit höchstens gleich großem Nenner, der besser approximiert

Dies gilt allgemein:

Wenn die Kettenbrucherweiterung einer irrationalen Zahl x {\displaystyle x} p / q {\displaystyle p/q} x {\displaystyle x} ≤ q {\displaystyle \leq q} [12]

Im Kettenbruch oben steht vor jedem Pluszeichen eine ganze Zahl

Je größer diese Zahl ist, desto kleiner ist der Bruch, in dessen Nenner sie steht, und desto kleiner ist daher der Fehler, der entsteht, wenn der unendliche Kettenbruch vor diesem Bruch abgebrochen wird

Die größte Zahl im Abschnitt mit fortgesetzten Brüchen oben ist 15 {\displaystyle 15}

Aus diesem Grund ist 22 7 {\displaystyle {\tfrac {22}{7}}} eine so gute Näherung für π {\displaystyle \pi }

Umgekehrt folgt nun, dass die Approximation besonders schlecht ist, wenn die Zahl vor dem Pluszeichen besonders klein ist

Die kleinste zulässige Zahl ist jedoch 1 {\displaystyle 1}

Der Kettenbruch, der nur Einsen enthält, ist daher besonders schwer mit rationalen Zahlen zu approximieren und in diesem Sinne die „irrationalste aller Zahlen“

Allerdings gilt für die goldene Zahl +{\tfrac {1}{\Phi }}} (siehe oben) Φ = 1 + 1 Φ {\displaystyle \Phi =1), was eine wiederholte Anwendung zur Folge hat

Φ = 1 + 1 Φ = 1 + 1 1 + 1 Φ = ⋯ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋯ ⋯ + 1 Φ {\displaystyle \Phi =1+{\frac {1}{\Phi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\phi }}}}=\dotsb =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1 +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {\cdots }{\dotsb +{\cfrac {1}{\Phi }}}}}}}}}}}}

Da die Kettenbrucherweiterung der goldenen Zahl Φ {\displaystyle \Phi } nur Einsen enthält, gehört sie zu den Zahlen, die sich rational besonders schwer annähern lassen

Wenn Ihre Kettenbruchentwicklung an irgendeiner Stelle abbricht, erhalten Sie immer einen Bruch von zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen.[13] Eine weitere kuriose Bezeichnung ist die folgende: In der Theorie dynamischer Systeme werden Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung irgendwann nur noch Einsen enthält, als „edle Zahlen“ bezeichnet

Da die goldene Zahl in ihrem Kettenbruch nur Einsen hat, kann sie (scherzhaft) als „edelste aller Zahlen“ bezeichnet werden

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Als Wurzel des Polynoms X 2 − X − 1 {\displaystyle X^{2}-X-1} ist der goldene Schnitt eine algebraische Zahl

Da das Polynom normalisiert ist und alle Koeffizienten ganze Zahlen sind, ist der goldene Schnitt gerade ganze Zahlen

Sei K := Q ( Φ ) = Q ( 5 ) {\displaystyle K:=\mathbb {Q} (\Phi )=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})} , dann K / Q { \displaystyle K/\mathbb {Q} } ist eine Körpererweiterung vom Grad 2

Somit ist K {\displaystyle K} ein quadratischer Zahlenkörper

Es ist der reelle quadratische Körper mit der kleinsten Diskriminante, nämlich 5 (der reelle quadratische Körper mit der nächstgrößeren Diskriminante ist Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} mit Diskriminante 8)

Sei O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} der entsprechende ganzzahlige Ring

Weil Φ {\displaystyle \Phi } eine ganze Zahl ist, Φ ∈ O K {\displaystyle \Phi \in {\mathcal {O}}_{K}} , aber mehr als das: Weil

NK / Q ( Φ ) = Φ Φ ‘ = 1 + 5 2 ⋅ 1 – – 5 2 = 1 – – 5 4 = – – 1 ∈ Z × {\ displaystyle N_ {K / \ mathbb {Q}} (\ Phi ) = \ Phi \Phi ‘={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1- 5}{4}}=-1\in\mathbb{Z}^{\times}}

der Goldene Schnitt ist sogar eine Einheit des ganzen Rings O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}

Seine multiplikative Inverse ist − Φ ′ = 5 − 1 2 = Φ − 1 {\displaystyle -\Phi ‘={\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=\Phi -1}

Dies kann auch algebraisch gezeigt werden, indem man einfach das Minimalpolynom X 2 − X − 1 {\displaystyle X^{2}-X-1}: kennt

Φ ( Φ − 1 ) = Φ 2 − Φ = Φ 2 − Φ − ( Φ 2 − Φ − 1 ) = 1

{\displaystyle \Phi (\Phi -1)=\Phi ^{2}-\Phi = \Phi ^{2}-\Phi -(\Phi ^{2}-\Phi -1)=1.}

O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} ist der Goldene Schnitt jedoch nicht nur eine Einheit des Ganzheitsrings, sondern sogar eine fundamentale Einheit des Ganzheitsrings

Das bedeutet, dass jedes Element von OK × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} die Form ± Φ n {\displaystyle \pm \Phi ^{n}} mit n ∈ hat Z {\displaystyle n\in \mathbb {\mathbb {Z} } }

Außerdem bilden 1 , Φ ∈ OK {\displaystyle 1,\Phi \in {\mathcal {O}}_{K}} eine Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -Basis von OK {\displaystyle {\ mathematisch {OK}}

Das heißt, jedes Element von OK {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} kann eindeutig geschrieben werden als a + b Φ {\displaystyle a+b\Phi } mit a , b ∈ Z {\displaystyle a , Schreibe b\in \mathbb{Z} }

Eine einfache Konsequenz aus dem nächsten Absatz ist, dass 1 , Φ 2 ∈ OK {\displaystyle 1,\Phi ^{2}\in {\mathcal {O}}_{K}} auch ein Z {\displaystyle \mathbb { Z } } bilden die Basis von OK {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}

Hier Φ 2 = 3 + 5 2 {\displaystyle \Phi ^{2}={\tfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}.

Die Menge der Randpunkte der konvexen Hülle von OK + := { x ∈ OK ∣ x ≫ 0 } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{+}:=\{x\in {\mathcal {O}}_{K}\mid x \gg 0\}} (eingebettet in R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} über die beiden reellen Einbettungen, die K {\displaystyle K} besitzt), die beispielsweise zur Desingularisierung verwendet werden der Scheitelpunkte von Hilbertschen modularen Oberflächen von ist durch die geraden Potenzen von Φ {\displaystyle \Phi} gegeben

Die Tatsache, dass diese Randpunkte alle in OK × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} liegen, also alle Einheiten, ist ein ziemlich seltenes Phänomen und entspricht der Singularität des Peaks Auflösung “unendlich” über diese lebenden rationalen Kurven in der Hilbertschen modularen Oberfläche, die mit dem Körper K {\displaystyle K} verbunden ist

Diese rationale Kurve ist singulär, weil sie einen Doppelpunkt enthält

Der Selbstschnittpunkt ist 1

Die Kurve kann als gedacht werden eine Riemann-Kugel, bei der der Nullpunkt mit dem Punkt im Unendlichen identifiziert wird (hier ist der Doppelpunkt im Singular vorhanden) Andere mathematische Eigenschaften Abgeleitet von Φ 2 = 1 + Φ {\displaystyle \Phi ^ {2}=1+\Phi } Kettenwurzel: Φ = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\ sqrt {1+\dotsb }}}}}}}} }} Das Quadrat Φ 2 = Φ + 1 {\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi +1} Φ {\displaystyle \Phi } Φ {\ displaystyle \Phi } siehe Quasikristall)

Φ = fn + 1 + fn ⋅ 1 Φ {\displaystyle \Phi ^{n}=\Phi ^{n-1}+ \Phi ^{n-2}=f_{n-1}+f_{n}\ cdot \Phi =f_{n+1}+f_{n}\cdot {\tfrac {1}{\Phi }}} fn {\displaystyle f_{n}} n {\displaystyle n} Fibonacci-Zahl ist).

Einen kurzen Beweis für diesen Zusammenhang liefert die direkte Darstellung der Fibonacci-Zahlen durch Φ − 1 = − Ψ {\displaystyle \Phi ^ {-1}=-\Psi } und Ψ − 1 = − Φ {\displaystyle \Psi ^{-1}=-\Phi } : ( Φ − Ψ ) ( fn − 1 + fn ⋅ Φ ) = Φ n − 1 − Ψ n − 1 + Φ n + 1 − Ψ n Φ = − Ψ Φ n + Φ Ψ n + Φ n + 1 − Φ Ψ n = ( Φ − Ψ ) Φ n {\displaystyle (\Phi -\Psi )(f_{n-1}+f_{n}\cdot \Phi )=\Phi ^{n-1}-\Psi ^{n-1}+\Phi ^{n+1}-\Psi ^{ n}\Phi =-\Psi \Phi ^{n}+\Phi \Psi ^{ n}+\Phi ^{n+1}-\Phi \Psi ^{n}=(\Phi -\Psi )\ Phi ^{n}} ± Φ Ψ n {\displaystyle \pm \Phi \Psi ^{ n}} die erste Behauptung entsteht nach Division durch ( Φ − Ψ ) ≠ 0 {\displaystyle (\Phi -\Psi )

eq 0}

– Im analogen Beweis der zweiten Behauptung gilt ± Ψ n + 1 {\displaystyle \pm \Psi ^{n+1}} nicht

Dies folgt unter anderem aus der Trigonometrie

Φ = 2 cos ⁡ π 5 = 2 sin ⁡ 3 π 10 {\displaystyle \Phi =2\cos {\frac {\pi }{5}}=2\sin {\frac {3\pi }{10}} }

und

1 Φ = 2 Sünde ⁡ π 10 = 2 cos ⁡ 2 π 5 {\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}=2\sin {\frac {\pi }{10}}=2\cos {\ frac {2\pi }{5}}}

π 5 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}} 3 π 10 {\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}} Pentagramm

Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das Fünfeck als von vergleichbarer Bedeutung beschrieben wie die der Kreiszahl

Der Goldene Schnitt kann auch mit der Euler-Zahl und der hyperbolischen Areasinus-Funktion ausgedrückt werden:

Φ ± 1 = e arsinh ⁡ ( ± 1 2 ) {\displaystyle \Phi ^{\pm 1}=e^{\operatorname {arsinh} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right) }}

Ersetzen von q = 1 Φ {\displaystyle q={\tfrac {1}{\Phi }}} | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} geometrische Reihenformel ∑ k = 1 ∞ qk = q 1 − q {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }q^{k}={ \ frac {q}{1-q}}}

Φ = ∑ k = 1 ∞ 1 Φ k {\displaystyle \Phi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\Phi ^{k}}}} ∑ k = 1 ∞ 1 Φ k = 1 Φ 1 − 1 Φ = 1 Φ − 1 = Φ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\Phi ^{k}}}={ \frac {\frac {1}{\Phi }}{1-{\frac {1}{\Phi }}}}={\frac {1}{\Phi -1}}=\Phi }

Anwendung des Binomialsatzes auf die Verbindung 1 n = ( 1 Φ + 1 Φ 2 ) n = ( 1 Φ 2 + 1 Φ ) n {\displaystyle \scriptstyle 1^{n}=\left({\frac {1} { \Phi }}+{\frac {1}{\Phi ^{2}}}\right)^{\!n}=\left({\frac {1}{\Phi ^{2}}}+ { \frac {1}{\Phi }}\right)^{\!n}}

1 = ∑ k = 0 n ( nk ) 1 Φ n + k = ∑ k = 0 n ( nk ) 1 Φ 2 n − k {\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{\phi ^{n+k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{\Phi ^{2n-k}}}} Φ n = ∑ k = 0 n ( nk ) 1 Φ k {\displaystyle \Phi ^{n}=\sum _{k=0}^{n }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{\Phi ^{k}}}}

Verallgemeinerung des Goldenen Schnitts [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Geometrisches Mittel [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

T {\displaystyle \mathrm {T} } EIN B ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} }

x = a ( a − x ) {\displaystyle x={\sqrt {a(ax)}}} a = x ( a + x ) {\displaystyle a={\sqrt {x(a+x)}}} Geometrisches Mittel: teilt die Linie im Verhältnis des goldenen Schnitts: und

Wenn die Länge des Segments A B ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} } | A B | {\displaystyle \mathrm {|AB|} } interpretiert als reelle Zahl a {\displaystyle a}, und die Teilung durch den Goldenen Schnitt am Punkt T {\displaystyle \mathrm {T} } in die beiden Abschnitte AT ¯ {\ displaystyle \mathrm {\overline {AT}} } und BT ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {BT}} } als Zerlegung dieser Zahl a {\displaystyle a} in zwei Summanden x {\displaystyle x} und a − x { \displaystyle ax} , dann ist x {\displaystyle x} das geometrische Mittel der Zahlen a {\displaystyle a} und a − x {\displaystyle ax}

Dies folgt aus der allgemeinen Definition des geometrischen Mittels x ¯ geom = x 1 ⋅ x 2 ⋯ xnn {\displaystyle {\bar {x}}_{\text{geom}}={\sqrt[{n}]{x_ { 1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}}} , hier: x = a ( a − x ) 2 {\displaystyle x={\sqrt[{2}]{a(ax)}} }

Außerdem folgt unmittelbar, dass a {\displaystyle a} wiederum das geometrische Mittel von x {\displaystyle x} und a + x {\displaystyle a+x} ist.[14] Für jedes reelle a {\displaystyle a} kann eine mathematische Folge sowohl in aufsteigender als auch in absteigender Reihenfolge angegeben werden

Sowohl die aufsteigende als auch die absteigende Sequenz sind rekursiv definiert

Für die aufsteigende Folge gilt: ai + 1 = ai + 1 2 ( 1 + 5 ) ai {\displaystyle a_{i+1}=a_{i}+{\tfrac {1}{2}}(1+ {\sqrt {5}})a_{i}} mit dem Startpunkt a 0 = a {\displaystyle a_{0}=a}.

Für die absteigende Folge: ai + 1 = ai − 1 2 ( 1 + 5 ) ai {\displaystyle a_{i+1}=a_{i}-{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})a_{ i}} mit dem Startpunkt a 0 = a {\displaystyle a_{0}=a}.

Kontinuierliche Teilung [ Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die geometrische Verallgemeinerung des Goldenen Schnitts durch seine mehrfache Anwendung ist die kontinuierliche Teilung einer Strecke A B ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} }

Das Segment AB ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} } wird zunächst in ein kleineres Segment AA ′ ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AA’}} } und ein größeres A ′ B ¯ { \ displaystyle \mathrm {\overline {A’B}} }

Die Linie A ′ B ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {A’B}} } } (also der größere der resultierenden Linienabschnitte) wird nun wieder einem goldenen Schnitt unterzogen, wobei A ″ B ¯ {\displaystyle \ mathrm {\overline {A”B}} } als (neues) größeres Segment und A ′ A ″ ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {A’A”}} } als kleineres

Dieser Schritt kann nun unendlich oft wiederholt werden, da es aufgrund der mathematischen Eigenschaften des Goldenen Schnitts trotz der progressiven Teilung keinen entsprechenden Punkt A ( n ) {\displaystyle \mathrm {A^{(n)}} } geben wird zu dem mit dem ursprünglichen Punkt A {\displaystyle \mathrm {A} } zusammenfällt

Dieses allgemeine Vorgehen lässt sich aber auch erreichen, indem man die Strecke AA ′ ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AA’}} } entfernt: A ′ {\displaystyle \mathrm { A’} } ″ {\displaystyle \mathrm {A”} } ist dasselbe wie der gerade in der (allgemeinen) Zerlegung beschriebene Punkt A ″ {\displaystyle \mathrm {A”} }

Diese Abfolge von Schritten nennt man die kontinuierliche Teilung eines Segments AB ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {AB}} } [4]

Analytisch ist die konstante Teilung als Verallgemeinerung des Goldenen Schnitts ein Beispiel für Selbstähnlichkeit: Interpretiert man die resultierenden Längen der Segmente als reelle Zahlen, so gilt: Zieht man das kürzere der beiden Segmente vom längeren ab eins, dann ist ein noch kürzeres Segment a − b {\displaystyle ab} , zu dem der mittlere Abstand b {\displaystyle b} wieder im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht, also ba − b = ab {\displaystyle {\frac { b}{ab}}={\frac {a}{b}}}

Diese Aussage ist wiederum analytisch identisch mit der absteigenden geometrischen Folge des vorherigen Abschnitts

Die gleiche Aussage gilt für die Verlängerung eines bestimmten Segments, sie führt zu einer zunehmenden geometrischen Sequenz

Allerdings gilt auch diese Aussage: Ein Rechteck mit den Seiten a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} entspricht dann genau diesem Goldenen Schnitt, wenn dies auch für das Rechteck mit den Seiten a + b {\displaystyle a der Fall ist +b} und ein {\displaystyle a}

Ein goldenes Rechteck kann also immer in ein kleineres goldenes Rechteck und ein Quadrat zerlegt werden

Diese Verallgemeinerung ist wiederum die Grundlage für die Konstruktion der (unendlichen) goldenen Spirale, wie oben beschrieben

Der Begriff Goldener Schnitt wurde bereits 1717 von M

Johann Wentzel Kaschuben in seinem Werk Cvrsvs mathematicvs:. ..[15] verwendet

Darin beschreibt er ein geometrisches Problem (näheres im Abschnitt zum Goldenen Schnitt als Konstruktionselement), dessen Lösung dieses spezielle Teilungsverhältnis erfordert

Abschließend bemerkte er: “Die Alten erheben diesen Abschnitt zum Goldenen.” [16]

Der Begriff Goldener Schnitt wurde erst in der ersten Hälfte des 19

Jahrhunderts populär, obwohl die mathematischen Grundlagen bereits seit der Antike bekannt waren.[17] Aus dieser Zeit stammt auch der Begriff Goldene Zahl, der noch 1819 in einem der griechischen Kalendersysteme mit dem Meton-Zyklus in Verbindung gebracht wurde.[18]

Die erste erhaltene genaue Beschreibung des Goldenen Schnitts findet sich in Euklids zweitem Buch der Elemente (um 300 v

Chr.), der durch seine Studien der platonischen Körper und des Fünfecks oder Pentagramms darauf stieß

Sein Begriff für dieses Teilungsverhältnis wurde später ins Lateinische übersetzt als „proportio habens medium et duo extrema“, was heute als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bekannt ist.[19][*5][20]

Heute kann als historisch sicher gelten, dass der Goldene Schnitt bereits vor Euklid bekannt war

Umstritten ist, ob die Entdeckung auf Hippasos von Metapont (spätes 6

Jh

v

Chr.) oder auf Eudoxos von Knidos (um 370 v

Chr.) zurückgeht.[21] Liber abbaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol

124r: Fibonacci-Zahlen am Rand des „Kaninchenproblems“ MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol

124r: Fibonacci-Zahlen am Rande der „Hasenaufgabe“

Der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, bekannt als „Fibonacci“, kommt mit seinem Rechenbuch Liber abbaci (erste Fassung nicht erhalten von 1202, zweite Fassung nicht erhalten vor 1220), einem umfassenden arithmetischen und algebraischen Lehrbuch zum Rechnen mit Indo-Arabisch, zu kurz Zahlen auch von der später nach ihm benannten Fibonacci-Folge im Zusammenhang mit der sogenannten Hasenaufgabe, bei der berechnet werden soll, wie viele Hasenpaare am Ende eines Jahres bei einer Reproduktionsrate von eins vorhanden sind Paar Jungkaninchen pro Elternpaar und Monat sind, wenn ein erstes Paar im ersten Monat und deren Nachwuchs jeweils ab dem Alter von zwei Monaten gebiert.[22] Leonardo stellt die Zahlenfolge für jeden Monat (2, 3, 5, 8. .

bis 377) vor und weist darauf hin, dass jeder Begriff in der Reihe (ab dem dritten) berechnet werden kann, indem die beiden vorherigen Begriffe in der Reihe addiert werden

Er hat sich mit dieser Serie nicht weiter auseinandergesetzt, d.h

Das heißt, er zeigt nicht die Verbindung zum Goldenen Schnitt

Dass er sich des (später so genannten) Goldenen Schnitts bewusst war und dass es sich um einen Begriff in der Tradition Euklids handelte, zeigt sich gegen Ende seiner Arbeit in einem algebraischen Problem, bei dem es um (in moderner Formulierung wiedergegeben) [23] Finden von a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} mit 10 = a + b {\displaystyle 10=a+b} und ab + ba = 5 {\ displaystyle {\tfrac {a}{b} }+{\tfrac {b}{a}}={\sqrt {5}}}.

Leonardo weist darauf hin, dass im Fall von a > b {\displaystyle a >b} das Verhältnis 10 : a = a : b gilt {\displaystyle 10:a=a:b} gilt, also 10 von a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} im Verhältnis des Goldenen Schnitts (ohne diesen Begriff zu verwenden) geteilt wird („et scis, secundum hanc diuisionem, 10 diuisa esse media et extrema proportione; quia est sicut 10 ad maiorem partem, ita maior pars ad minorem“).[24] Allerdings stellte Leonardo noch keine Verbindung zwischen der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt her: Die Entdeckung, dass die Division eines Glieds der Fibonacci-Folge durch das vorherige Glied einen ungefähren Wert von Φ {\displaystyle \Phi } ergibt, wurde lange Zeit Johannes zugeschrieben Kepler, konnte aber auch in neuerer Zeit in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein vermutlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16.

„Sit linea ab 233 pedum, divisa ut docet 11 huius in duo inaequalia in puncto h et sit bh portio eius maior 144 et ha portio eius minor 89

ducatur ab in ha et perveniunt 20737 et bh in se et perveniunt 20736

et sic cognosces quod in mutationibus non est laborandum quid unmöglich est numerum ita dividi ut ista 11 proponit

similiter accidit si linea 13 pedum dividatur in lineam 8 pedum, et lineam 5.“ „Eine gerade Linie ab von 233 Fuß wird an einem Punkt h in zwei ungleiche Teile geteilt, wie Satz 11 hier zeigt, und bh sei ihr größerer Teil mit 144 und ha ihr kleinerer Teil mit 89

Sei ab mit ha multipliziert, und es ist 20737, und bh multipliziert mit sich selbst ist 20736

Und daraus können Sie ersehen, dass man sich nicht mit Substitutionen herumschlagen muss, um zu zeigen, dass es unmöglich ist, die Zahl zu teilen, wie Satz 11 hier demonstriert

Das gleiche passiert, wenn eine 13-Fuß-Gerade in eine 8-Fuß-Gerade und eine 5-Fuß-Gerade geteilt wird.“[25]

Auch der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskaner Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445-1514), der Mathematik an der Universität von Perugia lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt beschäftigt

Er nannte diese Linienteilung „göttliche Teilung“ und bezog sich damit auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern, für deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Werkzeug ist

Sein gleichnamiges Werk De divina proportione von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern

Die erste ist eine rein mathematische Abhandlung, hat aber keinen Bezug zu Kunst und Architektur

Das zweite ist eine kurze Abhandlung über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1

Jahrhundert v

zur Architektur, in der Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für die Architektur darstellt

Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452-1519) über den vitruvianischen Menschen

Das Verhältnis der die Person umgebenden Seite des Quadrats zum Radius des umgebenden Kreises – nicht das Verhältnis der Proportionen der Person selbst – entspricht bei diesem berühmten Bild mit einer Abweichung von 1,7 % dem nicht erwähnten Goldenen Schnitt überhaupt im Begleitbuch

Außerdem wäre diese Abweichung bei einem konstruktiven Vorgehen nicht zu erwarten

Das Kepler-Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, das aus drei Quadraten gebildet werden kann, deren Flächenverhältnisse in geometrischer Progression wie der Goldene Schnitt variieren φ : 1 {\displaystyle \varphi : 1} A ist ein rechtwinkliges Dreieck, das aus drei Quadraten gebildet werden kann, deren Flächenverhältnisse verhalten sich in der geometrischen Progression wie der Goldene Schnitt

Im Oktober 1597 fragte Johannes Kepler in einem Brief an seinen ehemaligen Tübinger Professor Michael Mästlin, warum es nur eine einzige Lösung der Aufgabe gebe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht (Kepler-Dreieck)

Auf dem Original dieses Briefes notierte Mästlin eine Rechnung, die die Hypotenuse auf 10 und 10.000.000 setzt, im letzteren Fall die längere Seite auf 7.861.514 und die kürzeste Seite auf 6.180.340

Dies entspricht einer auf die sechste Dezimalstelle genauen (und bis zur fünften korrekten) Angabe des Goldenen Schnitts und ist nach den älteren Sexagesimalrechnungen der Antike die erste bekannte Dezimalangabe dieser Art.[26] 19

und 20

Jahrhundert[Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

In Abhandlungen verschiedener Autoren im 19

Jahrhundert, insbesondere des Philosophen Adolf Zeising,[27] wurden die beiden Schriften von Pacioli und da Vinci zu der These verbunden, dass Pacioli eine Verbindung in der „De Divina Proportione“ in Zusammenarbeit mit Leonardo hatte da Vinci schuf zwischen Kunst und Goldenem Schnitt und begründete damit seine Wiederentdeckung für die Malerei der Renaissance

Auch Zeising war von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik überzeugt, dessen Grundlage der Goldene Schnitt sein muss

Er suchte und fand den Goldenen Schnitt überall

Seine Schriften verbreiteten sich schnell und lösten eine wahre Euphorie über den Goldenen Schnitt aus

Andererseits zeigt ein Blick in die Literatur, dass vor Zeising niemand daran geglaubt hat, den Goldenen Schnitt in den Werken der Antike oder der Renaissance zu erkennen

Entsprechende Funde sind deshalb unter Kunsthistorikern heute eher umstritten, wie Neveux 1995 nachgewiesen hat.[28] Eine der ersten nachgewiesenen Verwendungen des Begriffs Goldener Schnitt wurde 1835 von Martin Ohm (1792–1872; Bruder von Georg Simon Ohm) in einem Mathematiklehrbuch verwendet.[19][29] Auch der Begriff Sectio aurea entstand erst in dieser Zeit

Tatsächlich stellte Gustav Theodor Fechner, ein Begründer der experimentellen Psychologie, 1876 eine Vorliebe für den Goldenen Schnitt fest, als er Subjekte anhand von Rechtecken untersuchte.[30] Die Ergebnisse für Segmentierung und Ellipsen waren jedoch unterschiedlich

Neuere Studien zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt

Außerdem stellte Fechner bei Bildvermessungen in verschiedenen Museen in Europa fest, dass die durchschnittlichen Seitenverhältnisse im Hochformat etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.[31][32]

Ende des 20

Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Methoden vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren unter der Farbe von Originalgemälden, denen der Goldene Schnitt nachgesagt wurde.[28][33 ]

Vorkommen in der Natur [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Anordnung der Blätter im Abstand des Goldenen Winkels von oben gesehen

Sonnenlicht wird optimal genutzt

Das spektakulärste Beispiel für den Goldenen Schnitt in der Natur findet sich in der Anordnung der Blätter (Phyllotaxis) und in den Blütenständen einiger Pflanzen.[* 6] Bei diesen Pflanzen halbiert der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis zum goldenen Schnitt, wenn die beiden Blattbasen durch Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung gebracht werden

Es ist der Goldene Winkel von etwa 137,5°

Die entstehenden Strukturen werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Auf diese Weise findet sich ein Muster aus einer tieferen Strukturebene in höheren Ebenen wieder

Beispiele sind die Sonnenblume,[* 7] Kohl, Kiefernnadeln an jungen Zweigen, Zapfen,[* 8] Agaven, viele Palmen- und Yucca-Arten und Rosenblätter, um nur einige zu nennen.

Der Grund dafür ist, dass diese Pflanzen versuchen, ihre Blätter auf Abstand zu halten

Es wird vermutet, dass sie an der Basis jedes Blattes einen speziellen Wuchshemmer produzieren, der im Pflanzenstängel diffundiert – hauptsächlich nach oben, in geringerem Maße aber auch seitlich

Bestimmte Konzentrationsgradienten bilden sich in verschiedene Richtungen aus

Das nächste Blatt entwickelt sich an einem Punkt am Umfang, wo die Konzentration minimal ist

Dadurch entsteht ein gewisser Winkel zum Vorgänger

Wenn dieser Winkel den Vollkreis durch eine rationale Zahl m n {\displaystyle {\tfrac {m}{n}}} teilt, dann würde dieses Blatt in genau die gleiche Richtung wachsen wie die Blätter davor

Allerdings ist der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors an dieser Stelle gerade maximal

Daher entsteht ein Winkel mit einem Verhältnis, das alle rationalen Zahlen vermeidet

Die Nummer ist jetzt die goldene Nummer (siehe oben)

Da bisher kein solcher Hemmstoff isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie etwa die analoge Steuerung dieser Prozesse durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin liegen, dass auf diese Weise Sonnenlicht (bzw

Wasser und Luft) optimal genutzt wird,[* 9] eine Vermutung schon von Leonardo da Vinci, oder auch im effizienteren Transport von durch Photosynthese produzierten Kohlenhydraten im Phloem Teil der Leitbündel nach unten

Die Wurzeln von Pflanzen zeigen den goldenen Winkel weniger deutlich

Andere Pflanzen hingegen zeigen Blattspiralen mit unterschiedlichen Winkeln

Beispielsweise wird bei einigen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, was der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11,. .

entspricht

In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese unterschiedlichen Verhaltensweisen erkennen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provoziert werden

Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen

In vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang sogenannte Fibonacci-Spiralen

Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang der Pflanzenachse besonders klein ist

Sie werden nicht durch aufeinanderfolgende Blätter gebildet, sondern durch Blätter im Abstand n {\displaystyle n} , wobei n {\displaystyle n} eine Fibonacci-Zahl ist

Solche Blätter befinden sich in unmittelbarer Nähe, da n {\displaystyle n} mal dem goldenen Winkel 2 π − 2 π Φ ≈ 137 ,5 ∘ {\displaystyle 2\pi -{\tfrac {2\pi }{\Phi }}\approx 137,5^{\circ }} ist ungefähr ein Vielfaches von 360°

n ⋅ 360 ∘ ⋅ ( 1 − 1 Φ ) ≈ n ⋅ mn ⋅ 360 ∘ = m ⋅ 360 ∘ , {\displaystyle n\cdot 360^{\circ }\cdot \left(1-{\frac {1}{ \Phi }}\right)\approx n\cdot {\frac {m}{n}}\cdot 360^{\circ }=m\cdot 360^{\circ },}

wobei m {\displaystyle m} die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu n {\displaystyle n} ist

Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind n {\displaystyle n} Spiralen zu sehen

Wenn n m {\displaystyle {\tfrac {n}{m}}} größer als Φ {\displaystyle \Phi } ist, ist das Verhältnis der nächsten beiden Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt

Daher sind in beiden Richtungen Spiralen zu aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen zu sehen

Die Drehrichtung der beiden Spiraltypen wird dem Zufall überlassen, so dass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen Berechneter Blütenstand mit 1000 Früchten im Goldenen Winkel – 13, 21, 34 und 55 Fibonacci-Spiralen erscheinen.

Fibonacci-Spiralen (die wiederum mit dem Goldenen Schnitt assoziiert werden) wirken besonders eindrucksvoll in Blütenständen, etwa bei Sonnenblumen.[* 10] Dort sitzen auf der stark komprimierten, scheibenförmigen geformte Blütenstandsachse, wobei jeder einzelnen Blüte ein eigener Kreis um das Zentrum des Blütenstandes zugeordnet werden kann

Im Wachstum aufeinander folgende Früchte sind also räumlich weit voneinander entfernt, während direkte Nachbarn wiederum einen Abstand haben, der einer Fibonacci-Zahl entspricht

Im äußeren Bereich von Sonnenblumen werden 34 und 55 Spiralen gezählt, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144

Die Abweichung vom mathematischen goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, ist kleiner als 0,01 %.

Der goldene Schnitt ist auch an radiärsymmetrischen fünfzähligen Blüten erkennbar, wie z

See also  The Best backshop franchise New Update

B

an der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Heckenrose

Der Abstand zwischen den Spitzen der Blütenblätter des nächsten Nachbarn zu denen des übernächsten ist proportional zu diesem, wie es bei einem regelmäßigen Fünfeck üblich ist

Dies gilt auch für Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.[* 11]

Goldener Schnitt im Efeublatt

Darüber hinaus wird angenommen, dass der goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinanderfolgender Stängelabschnitte einiger Pflanzen, wie z

B

der Pappel, steht

Auch beim Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) etwa im Verhältnis des Goldenen Schnitts

Diese Beispiele sind jedoch umstritten

Noch im 19

Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und sich auch in den Proportionen des menschlichen Körpers vielfältig verwirklicht habe

So ging Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers[27] davon aus, dass der Nabel die Höhe im Goldenen Schnitt teilt und der untere Teil wiederum durch das Knie

Außerdem scheinen die Proportionen benachbarter Teile der Gliedmaßen, wie Ober- und Unterarm und der Fingerknochen, ungefähr in diesem Verhältnis zu sein

Bei genauer Betrachtung zeigt sich jedoch eine Streuung der Quoten im 20%-Bereich

Die Definition, wie die Länge eines Körperteils genau zu bestimmen ist, enthält oft eine gewisse Willkür

Außerdem fehlt es dieser These noch an einer wissenschaftlichen Grundlage

Daher ist die vorherrschende Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich das Ergebnis einer gezielten Auswahl benachbarter Paare aus einer Menge beliebiger Größen sind.[* 12]

Es ist seit langem bekannt, dass die Umlaufzeiten einiger Planeten und Monde im Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen, wie etwa bei Jupiter und Saturn mit 2 : 5 {\displaystyle 2:5} oder den Jupitermonden Io, Ganymed und Europa mit 1 : 2 : 4 {\displaystyle 1:2:4}

Solche Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen

Erst 1964 wurde entdeckt, dass hinreichend irrationale Bedingungen, wie sie im Fall von 1 : Φ {\displaystyle 1:\Phi } vorliegen würden, stabilisierend wirken können

Solche Bahnen werden KAM-Bahnen genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorov, V.I

Arnold und Jürgen Moser.[34][35]

Schwarze Löcher [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Kontrahierbare kosmische Objekte ohne feste Oberfläche wie Schwarze Löcher oder die Sonne haben die paradoxe Eigenschaft, dass sie aufgrund ihrer eigenen Schwerkraft heißer werden, wenn sie Wärme abstrahlen (negative Wärmekapazität)

Bei rotierenden Schwarzen Löchern findet oberhalb eines kritischen Drehimpulses ein Übergang von negativer zu positiver Wärmekapazität statt, wobei dieser Kipppunkt von der Masse des Schwarzen Lochs abhängt

In der ad {\displaystyle d} -dimensionalen Raumzeit gibt es eine Metrik ( d − 3 1 1 0 ) {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}d-3&1\\1&0\end{smallmatrix}} }{ \bigr )}} ins Spiel kommen, deren Eigenwerte Φ {\displaystyle \Phi } für d = 4 {\displaystyle d=4} die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind

| ( 1 − Φ 1 1 − Φ ) | = Φ 2 − Φ − 1 {\displaystyle \left|{\begin{pmatrix}1-\Phi &1\\1&-\Phi \end{pmatrix}}\right|=\Phi ^{2}-\Phi – 1}

offenbart.[36][37]

Der Goldene Schnitt tritt auch in den Quasikristallen der Festkörperphysik auf, die 1984 von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden.[38] Das sind Strukturen mit fünfzähliger Symmetrie, aus denen sich, wie schon Kepler erkannte, kein streng periodisches Kristallgitter aufbauen lässt, wie es bei Kristallen üblich ist

Entsprechend groß war die Überraschung, als Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fünfzähliger Symmetrie fanden

Strukturell bestehen diese Quasikristalle aus zwei unterschiedlichen rhomboedrischen Bausteinen, mit denen der Raum lückenlos, aber ohne globale Periodizität gefüllt werden kann (Penrose-Tiling)

Beide Rhomboeder bestehen aus den gleichen rautenförmigen Flächen, sind aber unterschiedlich orientiert

Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen.[39] Shechtman erhielt 2011 den Nobelpreis für Chemie für die Entdeckung von Quasikristallen.[40] Anwendungen des Goldenen Schnitts [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Goldener Schnitt als Konstruktionselement [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

M

Johann Wentzel Kaschuben war verantwortlich für das unten beschriebene geometrische Problem, das 1717 in der folgenden konstruktiven Form gezeigt wurde

„§.34

Bei einem gleichschenkligen Δ , {\displaystyle \Delta ,} bei dem die auf einem Glied stehende Senkrechte AB = a {\displaystyle \mathrm {AB} =a} gegeben ist, dann ist das Glied KM {\displaystyle \mathrm {KM} } sich in A {\displaystyle \mathrm {A} } so schneidet, dass es sich von den übrigen Perpenden unterscheidet

Linien in E {\displaystyle \mathrm {E} } können auf folgende Weise gefunden werden

[…]“ M

Johann Wentzel Kashuben : Cvrsvs mathematicvs, oder klarer Begriff der mathematischen Wissenschaften [41]

( GI ¯ {\displaystyle ({\overline {GI}}} BG ¯ {\displaystyle {\overline {BG}}} AB ¯ ) {\displaystyle {\overline {AB}})} das schneidet das Goldene”[16 ] als Konstruktionselemente.

KA ¯ : AM ¯ = BE ¯ : EA ¯ = KF ¯ : FB ¯ {\displaystyle {\overline {KA}}\;:\;{\overline {AM}}={\overline { BE }}\;:\;{\overline {EA}}={\overline {KF}}\;:\;{\overline {FB}}} 1717 verwendeten die Kaschuben das geometrische Mittel von und sowie „als Konstruktionselemente.

Wir suchen also nach einem gleichschenkligen Dreieck, in dem eine gegebene Strecke AB ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} und ein Schenkel des Dreiecks orthogonal zueinander stehen und der Punkt A {\displaystyle A} teilt dieses Bein im Verhältnis des goldenen Schnitts.

Konstruktionsbeschreibung.(Basierend auf der Beschreibung des Originals, die dort erwähnte Abb

7 ist auf Tab

I Alg

Abb

8)[42]

Zunächst wird die Strecke A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} mit der frei wählbaren Länge a {\displaystyle a} senkrecht zur Geraden g {\displaystyle g} aufgestellt

Es folgt das rechtwinklige Dreieck ABC, {\displaystyle ABC,} in dem die Seite AC ¯ = a 2 {\displaystyle {\overline {AC}}={\tfrac {a}{2}}} auf der Geraden g {\ displaystyle g} liegt

Der Kreisbogen um B {\displaystyle C} mit Radius AC ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} ergibt den Schnittpunkt D , {\displaystyle D,} den Kreisbogen um B {\displaystyle B} mit Radius BD ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}} teilt die Seite a {\displaystyle a} in E {\displaystyle E} im Goldenen Schnitt

Zeichne einen Kreis um E {\displaystyle E} mit Radius EA ¯ , {\displaystyle {\overline {EA}},} ergibt Schnittpunkt G , {\displaystyle G,} und einen Bogen um E {\displaystyle E} mit Radius EB ¯

{\displaystyle {\overline {EB}}.} Zeichne nun eine Senkrechte zu einem {\displaystyle a} von G {\displaystyle G} bis sie den Bogen bei I {\displaystyle I} schneidet

Mit GI ¯ {\displaystyle {\overline {GI}}} ist das geometrische Mittel der Längen der beiden Segmente BG ¯ {\displaystyle {\overline {BG}}} und AB ¯ {\displaystyle {\overline {AB}} } bestimmt

Ein Kreisbogen um E {\displaystyle B} mit Radius GI ¯ {\displaystyle {\overline {GI}}} schneidet den Kreis um E {\displaystyle E} in F , {\displaystyle F,} ergibt rechts -winkliges Dreieck EBF

{\displaystyle EBF.} Schließlich wird die Strecke BF ¯ {\displaystyle {\overline {BF}}} zu der Geraden g {\displaystyle g} und einem Bogen mit Radius um den Schnittpunkt K {\displaystyle K verlängert } soeben erzeugt KB ¯ {\displaystyle {\overline {KB}}} bis sie die Gerade g {\displaystyle g} in M ​​​​{\displaystyle M} schneidet.

Im gleichschenkligen Dreieck KMB , {\displaystyle KMB, } so gefunden, teilt der Punkt A {\displaystyle A} der Senkrechten AB ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} den Schenkel KM ¯ {\displaystyle {\overline {KM}}} im Goldenen Schnitt.

KA ¯ : AM ¯ = BE ¯ : EA ¯ = KF ¯ : FB ¯ {\displaystyle {\overline {KA}}\;:\;{\overline {AM}}={\overline {BE}}\;: \;{\overline {EA} }={\overline {KF}}\;:\;{\overline {FB}}}

Papier- und Bildgrößen [ Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Im Buchdruck wurde die nutzbare Fläche einer Seite, der sogenannte Satzspiegel, gelegentlich so positioniert, dass das Verhältnis von Bund zu Kopf zu äußerem Bund zu Fuß 2 : 3 : 5 : 8 {\displaystyle 2:3:5:8}

Diese Wahl der Fibonacci-Zahlen nähert sich dem Goldenen Schnitt an

Eine solche Gestaltung wird in Teilen der Buchdruck-Fachliteratur noch immer empfohlen.[* 13]

Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Die folgende Abbildung zeigt einen Vergleich verschiedener Rechtecke mit markanten Seitenverhältnissen in der Nähe von Φ = 1,618. .

{\displaystyle \Phi =1{.}618\ldots } Das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor sind angegeben in jedem Fall:

Φ0√ 4 : 3 0 – Traditionelles Fernsehformat und Ballenformat für Geschenkpapier

Wird auch in älteren Computermonitoren verwendet (z

B.: 1024 × 768 Pixel)

Dieses Format geht auf Thomas Alva Edison zurück, der 1889 das Format des klassischen Filmbildes (35-mm-Film) auf 24 mm × 18 mm definierte

[43]

4 : 3 – Traditionelles Fernsehformat und für Geschenkpapier

Wird auch in älteren Computermonitoren verwendet (z

B.: 1024 × 768 Pixel)

Dieses Format geht auf Thomas Alva Edison zurück, der 1889 das Format des klassischen Filmbildes (35-mm-Film) auf 24 mm × 18 mm definierte

Φ0 √ 2 : 1 0 – Das Seitenverhältnis eines A4-Blatts und zugehörige DIN/EN/ISO-Abmessungen

Bei der Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks ​​halbiert, werden wieder Rechtecke mit demselben Seitenverhältnis erstellt.

√ : 1 – Das Seitenverhältnis von A4-Papier und zugehörige DIN/EN/ISO-Abmessungen

Bei der Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks ​​halbiert, werden wieder Rechtecke mit demselben Seitenverhältnis erstellt

Φ0√ 3 : 2 0 – Seitenverhältnis von 35-mm-Film (36 mm × 24 mm)

3 : 2 – Seitenverhältnis von 35-mm-Film (36 mm × 24 mm)

Φ√ 16 : 10 – Einige Computerbildschirme

Diese entsprechen mit 1,6:1 fast dem Goldenen Schnitt

16:10 – Einige Computerbildschirme

Diese entsprechen mit 1,6:1 fast dem Goldenen Schnitt

√00 Φ : 1 0 – Seitenverhältnis Goldener Schnitt

Im Bild angenähert mit 144 × 89 Pixel (theoretischer Fehler nur 5 × 10 –5 )

Die beiden benachbarten Rechtecke 3:2 und 5:3 haben – wie das abgebildete Rechteck mit 144:89 – Seitenverhältnisse aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen und nähern sich daher auch vergleichsweise gut dem Goldenen Schnitt an

Φ : 1 – Seitenverhältnis im Bild ungefähr mit 144 × 89 Pixel (theoretischer Fehler nur 5 × 10)

Die beiden benachbarten Rechtecke 3:2 und 5:3 haben – wie das abgebildete Rechteck mit 144:89 – Seitenverhältnisse aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen und nähern sich daher auch vergleichsweise gut dem Goldenen Schnitt an

Φ√0 5 : 3 0 – Wird neben vielen anderen als Filmformat verwendet

5 : 3 – Wird unter anderem als Filmformat verwendet

Φ√ 16 : 9 0 – Breitbildfernseher

Frühe Hinweise auf die Verwendung des Goldenen Schnitts stammen aus der Architektur

Die Schriften des griechischen Historikers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich so interpretiert, dass die Höhe der Seitenfläche die Hälfte der Grundkante im Verhältnis des Goldenen Schnitts ist.[* 14] Die betreffende Textpassage kann jedoch interpretiert werden

Andererseits wird auch die These aufgestellt, dass das Verhältnis 2 : π {\displaystyle 2:\pi } von Pyramidenhöhe zu Grundkante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegelt

Obwohl die Differenz zwischen den beiden vertretenen Thesen nur 3,0 % beträgt, ist ein absoluter Beweis für die eine oder andere These damit nicht verbunden 447–432 v Pläne für diese Arbeiten sind überliefert, es ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden

Mögliche Beispiele des Goldenen Schnitts finden sich auch in späteren Epochen, wie dem Dom in Florenz,[* 16] Notre Dame in Paris oder der Torhalle in Lorsch (770 n

Chr.)[* 17]

Auch in diesen Fällen lässt sich die bewusste Anwendung des Goldenen Schnitts anhand historischer Quellen nicht belegen

Folglich gibt es keine empirisch gesicherten Belege für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnitts in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen

Es gibt auch keine historischen Beweise für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnitts

Die Mitte des Haupttors schneidet die Vorderseite des Gehäuses im goldenen Schnitt

Altes Leipziger Rathaus nach dem Umbau 1909 Die Mitte des Haupttores schneidet die Wohnfront im Goldenen Schnitt.

Als Beispiel für die Umsetzung des Goldenen Schnitts wird immer wieder das Alte Rathaus in Leipzig angeführt, ein Renaissancebau aus den Jahren 1556/57.[44] Der aus der Mittelachse versetzte Rathausturm gilt als architektonische Avantgardeleistung der damaligen Zeit und stand mit seinem Aufruhr für das urbane Selbstbewusstsein der Stadt

Nicht die Mitte des Rathausturms teilt die Wohnfront im Goldenen Schnitt, wie man auf den ersten Blick annehmen könnte, sondern die Mitte des leicht versetzten Haupttors

Allerdings gibt es dafür bei genauer historischer Quellenforschung keine Anhaltspunkte

Insbesondere ist nicht belegt, dass Hieronymus Lotter als damaliger Baumeister bewusst den Goldenen Schnitt als Konstruktionsprinzip verwendet hat: Alle Originalquellen verweisen lediglich auf einen gotischen Vorgängerbau, auf dessen Fundament Lotter das Rathaus errichtete

Dass hier der Goldene Schnitt eine Rolle spielte, lässt sich historisch nicht belegen

Die erste historisch belegte Verwendung des Goldenen Schnitts in der Architektur geht auf das 20

Jahrhundert zurück: Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887-1965) entwickelte ab 1940 ein Längen-Maßsystem, dessen Maßeinheiten im Goldenen zueinander in Beziehung stehen Sektion

Die darin enthaltenen Werte der kleineren Maßeinheiten sind Durchschnittsmessungen am menschlichen Körper

Diese veröffentlichte er 1949 in seiner Schrift Der Modulor, die zu den wichtigsten Schriften der Architekturgeschichte und -theorie zählt

Bereits 1934 wurde ihm von der Universität Zürich für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien der Titel Doktor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.[* 18] Aus den genannten Gründen ist dies jedoch kein Beleg für eine frühere Verwendung des Modulors

Bildende Kunst [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Inwieweit die Anwendung des Goldenen Schnitts in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage des vorherrschenden Kunstverständnisses

Für die allgemeine These, dass dieser Anteil als besonders attraktiv und harmonisch empfunden wird, gibt es keine belastbaren Belege

Viele Künstler nutzten bewusst den Goldenen Schnitt, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig

Allerdings sind diese Befunde angesichts der Fülle möglicher Strukturen, die in einem reich strukturierten Gemälde zu finden sind, oft umstritten.[45] So gelten zahlreiche Skulpturen griechischer Bildhauer wie der Leochares zugeschriebene Apollo von Belvedere (ca

325 v

Chr.) oder Werke von Phidias (5

Jh

v

Chr.) als Beispiele für die Anwendung des Goldenen Schnitts

Auf Letzteres bezieht sich auch der heute oft verwendete Begriff Φ {\displaystyle \Phi } für den Goldenen Schnitt, der von dem amerikanischen Mathematiker Mark Barr eingeführt wurde

Der gelegentlich auch verwendete Begriff τ {\displaystyle \tau } bezieht sich auf das griechische Wort τομή für „schneiden“.[46] Der Goldene Schnitt wird auch in vielen Werken von Renaissance-Künstlern vermutet, darunter Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, in Dürers Werken insbesondere in seinem Selbstbildnis von 1500 und seinem Stich Melencolia I von 1514.[* 19]

Der Goldene Schnitt wird auch in der Fotografie zur Erstellung von Bildern verwendet

Als Faustregel gilt die Drittelregel.[47][48]

Zeitgenössische bildende Kunst [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Goldener Schnitt von Martina Schettina (2009) von Martina Schettina (2009)

In der zeitgenössischen bildenden Kunst wird der Goldene Schnitt nicht nur als Gestaltungsmerkmal verwendet, sondern ist in manchen Werken auch Thema oder zentraler Bildinhalt

Der Künstler Jo Niemeyer verwendet den Goldenen Schnitt als grundlegendes Gestaltungsprinzip in seinen Werken, die der konkreten Kunst zuzuordnen sind.[49] Der Künstler Ivo Ringe, der auch ein Vertreter der konkreten Kunst ist, verwendet in vielen seiner Werke den Goldenen Schnitt.[50] Die Künstlerin Martina Schettina thematisiert den Goldenen Schnitt in ihren Arbeiten zum Fünfeck, bei dem sich die Diagonalen im Goldenen Schnitt teilen.[51] Es visualisiert auch die Konstruktionsmethode und Formeln für den Goldenen Schnitt.[52]

Akustik und Musik [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

In der Musik werden Töne als konsonant empfunden, wenn das Verhältnis ihrer Schwingungsfrequenzen ein Bruchteil kleiner ganzer Zahlen ist

Dass eine Annäherung dieses Verhältnisses an den Goldenen Schnitt nicht zwangsläufig zu einem melodiösen Intervall führt, ist daran zu erkennen, dass unter den Tonintervallen, deren Schwingungsverhältnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht, höchstens die Quinte mit einem Schwingungsverhältnis von 3 zu finden ist :2 fällt auf

Die große Terz mit einem Schwingungsverhältnis von 5:4 wird als harmonischer empfunden als die große Sexte mit 5:3 und die kleine Sexte mit 8:5

Da ein Tonintervall im Goldenen Schnitt mit etwa 833,09 Cent nur etwa 19 Cent größer ist als eine kleine Sexte, ist es für ein ungeschultes Ohr schwer, es davon zu unterscheiden (Hörbeispiel?/i).[53] Auch in den Strukturkonzepten von Musikstücken wird der Goldene Schnitt gelegentlich vermutet

Der ungarische Musikwissenschaftler Ernő Lendvai etwa versuchte nachzuweisen, dass der Goldene Schnitt das zentrale Gestaltungsprinzip der Werke von Béla Bartók sei

Bartók hat seiner Ansicht nach seine Kompositionen so strukturiert, dass die Anzahl der Takte in den einzelnen Formabschnitten Verhältnisse bilden, die dem Goldenen Schnitt nahe kommen würden

Seine Berechnungen sind jedoch umstritten.[* 20]

In der Musik nach 1945 finden sich Beispiele für die bewusste Proportionierung nach Zahlen der Fibonacci-Folge, etwa im Klavierstück IX von Karlheinz Stockhausen oder in der Spektralmusik von Gérard Grisey.[54] Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet

Gerade im Geigenbau soll sie für Instrumente mit besonders schönem Klang bürgen

Es wird auch behauptet, dass der berühmte Geigenbauer Stradivarius den Goldenen Schnitt benutzte, um die optimale Position der f-Löcher für seine Geigen zu berechnen

Diese Behauptungen basieren jedoch ausschließlich auf retrospektiven numerischen Analysen der Instrumente von Stradivari

Es gibt jedoch keine Beweise dafür, dass Stradivari bewusst den goldenen Schnitt verwendet hat, um ihre Proportionen zu bestimmen.[55][56]

In der Informatik werden Daten für den schnellen Zugriff in Hash-Tabellen gespeichert

Die Position h ( k ) {\displaystyle h(k)} , an der ein Datensatz k {\displaystyle k} in der Tabelle gespeichert ist, wird mit einer Hash-Funktion h {\displaystyle h} berechnet

Für einen effizienten Zugriff müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden

Eine Variante für die Hashfunktion ist das multiplikative Verfahren, bei dem die Hashwerte für eine Tabelle der Größe m {\displaystyle m} nach folgender Formel berechnet werden:

h ( k ) = ⌊ m ( k EIN – – ⌊ k EIN ⌋ ) ⌋ {\ displaystyle h (k) = \ lfloor m (kA-\ lfloor kA \rfloor ) \rfloor}

⌊ … ⌋ {\displaystyle \lfloor \ldots \rfloor } stellen Gaußsche Klammern dar, die den Inhalt der Klammern auf die nächste ganze Zahl runden

Der angesehene Informatiker Donald E

Knuth schlägt für die frei wählbare Konstante A = 1 / Φ {\displaystyle A=1/\Phi } vor, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.[57] Methode des Goldenen Schnitts [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die Methode des Goldenen Schnitts (auch: Golden Section Method,[58] Methode des Goldenen Schnitts oder Suchmethode Goldener Schnitt) ist eine Methode der mathematisch nichtlinearen Optimierung, genauer gesagt, sie berechnet algorithmisch eine numerische Näherung für einen Extrempunkt (Minimum bzw Maximum) einer reellen Funktion einer Variablen in einem Suchintervall [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}

Sie basiert auf der analytischen Anwendung der ursprünglich geometrisch definierten kontinuierlichen Teilung

Im Gegensatz zur Methode der Intervallhalbierung wird das Suchintervall nicht bei jedem Schritt halbiert, sondern nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts verkleinert

Der verwendete Parameter τ {\displaystyle \tau } (tau) hat nicht den Wert 1 2 wie bei der Halbierungsmethode {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} , sondern τ = Φ − 1 {\displaystyle \ textstyle \tau =\Phi -1} wird so gewählt, dass zwei Punkte x = b − τ ( b − a ) {\displaystyle \textstyle x=b-\tau (ba)} und x ′ = a + τ ( b − a ) {\displaystyle \textstyle x’=a+\tau (ba)} Ergebnis für das Optimierungsverfahren, das das Suchintervall im Goldenen Schnitt teilt.[59]

Geht man davon aus, dass jeder Punkt in jedem Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Extrempunkt sein kann, führt dies bei Unsicherheitsintervallen zur Golden-Ratio-Methode, z

B

um 14 % effektiver als die Intervallhalbierungsmethode

Verglichen mit diesem und anderen sequentiellen Verfahren ist es – mathematisch gesehen – das effektivste Verfahren für allgemeine Funktionen; nur bei differenzierbaren Funktionen ist sie der direkten mathematischen Lösung unterlegen.[60] Dass sich diese Methode in der Handrechnung nicht durchgesetzt hat, liegt vor allem an den notwendigen Wurzelrechnungen für die einzelnen Zwischenschritte

Eine weitere Verbindung zwischen der Informationstheorie und dem Goldenen Schnitt wurde von Helmar Frank mit der Definition der Abnormalität hergestellt

Er konnte zeigen, dass der mathematische Wert des Maximums der Auffälligkeit dem Verhältnis des Goldenen Schnitts sehr nahe kommt.[61] Siehe auch [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Historische Literatur [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Luca Pacioli; Constantin Winterberg (Hrsg

und Übersetzer): De divina proportione

Venedig 1509

Carl Graeser, Wien 1889 (im Internetarchiv: online, unter alo: literatur.at/alo)

Venedig 1509

Carl Graeser, Wien 1889 (im Internetarchiv: online, unter alo: literatur.at/alo) Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers

Rudolf Weigel, Leipzig 1854; archive.org.

Rudolph Weigel, Leipzig 1854; Archiv.org

Adolf Zeising: Das normale Verhältnis der chemischen und morphologischen Verhältnisse

Rudolf Weigel, Leipzig 1856; archive.org.

Rudolph Weigel, Leipzig 1856; Archiv.org

Gustav Theodor Fechner: Zur experimentellen Ästhetik

Hirzel, Leipzig 1871.

Neuere Literatur [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

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Englisch

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Alles lebt, alles atmet,
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ein wundersamer goldener Kreis.\”
Wir dürfen wieder tiefe Dankbarkeit und die Verbindung zu Mutter Erde fühlen.
Spüren, dass alles Eins ist und wir von der Natur so reich beschenkt werden. Dieser Gedanke erfüllt mich mit großer Liebe.
So große Wunder, die uns umgeben. So unendlich wertvoll, das Leben.
Lasst uns die Schönheit unserer Erde erkennen, uns wieder
mit ihr connecten und uns bewusst werden, welch großes schöpferisches Potential in uns allen schlummert.
Frauen und Schwestern, lasst uns nicht mehr gegeneinander kämpfen und in Konkurrenz zueinander gehen. Lasst uns miteinander stark sein und wahrhaftige und liebevolle Weiblichkeit leben. In Kraft und Lebendigkeit das Sein feiern und uns an unsere frühere Verbindung mit der Mondin erinnern. Lasst uns zurückkehren, an die heilige Quelle der Frauen. Lasst die Hexe, die Priesterin und die Heilerin in euch aufblühen, lasst euer Feuer hinaus in die Welt.
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 Update  MORGAINE - GOLDENER KREIS [Official HD Video]
MORGAINE – GOLDENER KREIS [Official HD Video] Update

Der Goldene Schnitt Endlich verständlich erklärt … Update

5.12.2017 · Der goldene Streckenabschnitt zieht sich durch die Werke der großen Meister – auch der italienische Maler Raffael hat das Teilungsverhältnis nach Phi angewandt. Der Bildaufbau seines Kunstwerkes Triumph der Galatea besteht aus zwei Teilen: Die Stirnlocke von Raffaels Galatea trennt nicht nur Himmel- und Erdreich voneinander, sondern markiert auch den …

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Die Bedeutung des Goldenen Schnitts wird oft im Zusammenhang mit der Bildgestaltung in Fotografie und Kunst erwähnt

Aber was genau ist der Goldene Schnitt und wie berechnet man ihn? In diesem Tutorial erfahren Sie alles, was Sie über den Goldenen Schnitt wissen müssen

Was ist der Goldene Schnitt?

Der Goldene Schnitt ist eine seit der Antike bekannte Konstruktionsregel und beschreibt das Teilungsverhältnis zweier Größen zueinander

Diese Aufteilung gilt als ausgewogene Richtlinie und wird von Menschen als besonders harmonisch empfunden

Der Goldene Schnitt ist in der Natur und sogar im menschlichen Körper verbreitet, findet sich aber auch in Kunst, Architektur und Typografie

Der Mythos des Goldenen Schnitts: Wie berechnet man?

Die Ermittlung des Goldenen Schnitts ist ganz einfach: Eine Strecke wird so geteilt, dass das Verhältnis des kleineren Abschnitts (b) zum größeren Abschnitt (a) dem des größeren Abschnitts zum Gesamtabschnitt (a+b) entspricht

Daraus ergibt sich die Formel a / b = ( a + b ) / a

Die Zahl des Goldenen Schnitts wird mit Phi bezeichnet und entspricht dem gerundeten Wert 1,6180

Die Theorie des Goldenen Schnitts wurde erstmals von Euklid (ca

360-280 v

Chr.) vorgeschlagen

Die Grundlagen der Konstruktionen gehen nicht nur auf Euklid, sondern auch auf Ptolemaios und Heron zurück

Der goldene Schnitt und die Fibonacci-Folge

1202 beschrieb der Mathematiker Leonardo Fibonacci ein Zahlenverhältnis, das der Zahl Phi so nahe wie möglich kam

Diese Zahlenfolge findet sich überall in der Natur – zum Beispiel im Wachstum von Kaninchenpopulationen oder in der Anordnung von Blättern

Die sogenannte Fibonacci-Folge beginnt mit der Zahl 1, der nachfolgende Zahlenwert wird aus der Summe der vorangegangenen Zahlen gebildet

Das Zahlenverhältnis beginnt wie folgt:

1+0=1

1+1=2

1+2=3

2+3=5

3+5=8

Diese Zahlenfolge steht in direktem Zusammenhang mit den Proportionen des Goldenen Schnitts: Je größer die Summe bei der Fibonacci-Methode, desto näher nähert sich das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Zahlen der Goldenen Zahl Phi

Der richtige Schnitt: Goldener Schnitt in Fotografie und Grafikdesign

In der Fotografie können Sie den Goldenen Schnitt als Hilfsmittel nutzen, um eine harmonische Bildkomposition zu erreichen

Da die zentrale Positionierung eines Motivs oft als statisch oder uninteressant empfunden wird, ist diese Aufteilung für die Bildgestaltung äußerst interessant

Das Foto ist im Verhältnis des Goldenen Schnitts in neun Felder mit zwei horizontalen und zwei vertikalen Abschnitten unterteilt

Das Motiv wird nun anhand der Schnittpunkte und Linien im Raster ausgerichtet

So kann der Horizont auf einem der horizontalen Abschnitte des Gestaltungsrasters liegen, während die Person im Vordergrund an der Vertikalen des Rasters ausgerichtet wird

Tipp: Der richtige Bildausschnitt ist entscheidend für die Wirkung des Bildes

Nutzen Sie das Stilmittel der Asymmetrie und richten Sie das Motiv leicht versetzt zum Gestaltungsraster aus – das bricht die Symmetrie und erzeugt zusätzliche Spannung

So eine Pause macht jedes Herbstfoto zu einem Kunstwerk

In Bildbearbeitungsprogrammen wie Photoshop können Sie Ihr Foto in Drittel teilen und ganz einfach die Drittelregel anwenden

Wagen Sie es, die klassische Symmetrie aufzubrechen

Ein besonderes Design: der Goldene Schnitt in der Kunst

Die Formel des Goldenen Schnitts, auch bekannt als Proportio Divina („göttliche Proportion“), zieht sich nicht nur durch die letzten Jahrhunderte, sondern durch die gesamte Kunstgeschichte

Das harmonische Teilungsverhältnis zeigte sich bereits in der Antike: Die berühmte Statue der Venus von Milo zeigt die Göttin Aphrodite bereits im zweiten Jahrhundert v

Chr

mit goldenen Proportionen.

Während der Renaissance zeigten die Bildkompositionen von Leonardo da Vinci den Goldenen Schnitt

In seinem Gemälde Das letzte Abendmahl markieren die Hände Jakobs des Älteren, die den Tisch berühren, die Trennlinie

Sein weltberühmtes Kunstwerk, die Mona Lisa, ist auf der Ebene des „Goldenen Dreiecks“ gebaut (Euklid diskutierte das Goldene Dreieck und seine Symmetrie in der beschriebenen Abhandlung Die Elemente)

Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck mit gleichen Winkeln, bei dem die Seiten und die Basis im Verhältnis des Goldenen Schnitts zueinander stehen

Die Winkel darin sind 72°, 72° und 36°

Nutzen Sie die Komposition der Drittelregel für Ihre eigenen Porträtaufnahmen und experimentieren Sie mit dem goldenen Dreieck

Die Orientierung an den Schnittpunkten hat mehrere Vorteile: Sie schaffen eine eindrucksvolle Komposition voller Symmetrie, die auf den Betrachter ausgewogen und harmonisch wirkt

Eine weitere regelmäßige Konstruktion, die dem Goldenen Schnitt entspricht, ist das regelmäßige Fünfeck

Die beiden Diagonalen des Fünfecks schneiden sich im Goldenen Schnitt

Ebenso zeigt das Fünfeck durch seine Teilpunkte ein inneres Pentagramm, was dem Goldenen Schnitt entspricht

Die Länge der Linie und der durch Schnittpunkte begrenzten Teillinien im Pentagramm hat vier unterschiedliche Längen

Die aufeinander folgenden Abschnitte haben das Verhältnis Phi.

Tipp: Präsentieren Sie Ihr Portrait als Acrylglasfoto, auf Alu-Dibond oder als Fotoleinwand und verwenden Sie einen Bildausschnitt, der dem Goldenen Schnitt entspricht

Es erstrahlt in leuchtenden Farben und bekommt einen besonderen Ausdruck

Der Goldene Schnitt zieht sich durch die Werke der großen Meister – auch der italienische Maler Raffael verwendete das Teilungsverhältnis nach Phi

Der Bildaufbau seines Kunstwerks Triumph der Galatea besteht aus zwei Teilen: Die Stirnlocke von Raffaels Galatea trennt nicht nur Himmel und Erde voneinander, sondern markiert auch die Trennstelle des Goldenen Schnitts

Diese Trennpunkte finden sich auch in der bildlichen Einteilung seiner Sixtinischen Madonna wieder – die Einteilung verläuft entlang des Nabels der Madonna

Albrecht Dürers Selbstbildnis im Pelzrock zeigt den Maler um 1500 in einer hierarchischen Pose – diese Darstellung war nur Christus oder Monarchen vorbehalten

Dürers Haare bilden ein Dreieck, dessen Basis das gesamte Werk nach dem goldenen Schnitt (phi) teilt

Zudem wird das Gesicht des Malers von senkrechten Linien eingerahmt, die die Breite des Gemäldes nach den goldenen Proportionen strukturieren

Goldener Schnitt: Proportionen von Körper und Gesicht

Mit seiner Darstellung des vitruvianischen Menschen schuf Leonardo da Vinci ein beeindruckendes Maßsystem für den Goldenen Schnitt nach dem Vorbild menschlicher Proportionen

Der Mensch berührt mit den Fingerspitzen das ihn umgebende Quadrat, die Fußsohlen berühren den ihn umgebenden Kreis

Die Figur richtet sich aber nicht nur nach dem Goldenen Schnitt nach Quadrat und Kreis – auch die Proportionen der einzelnen Körperteile entsprechen dem Goldenen Schnitt

Das Schönheitsempfinden in der Gesellschaft

Heute richtet sich nicht nur das Schönheitsempfinden, sondern auch die plastische Chirurgie nach dem Verhältnis des Goldenen Schnitts, denn dieses Verhältnis wird als besonders attraktiv empfunden

Je genauer Körper- und Gesichtsproportionen der Formel des Goldenen Schnitts entsprechen, desto schöner gilt die Person

Nach Auswertungen des US-Schönheitschirurgen Stephen Marquardt entspricht das Verhältnis der idealen Breite der Nase zur Breite des Mundes dem Wert der Zahl Phi

Der deutsche Psychologe Adolf Zeising schrieb dazu einmal:

„(…) wirklich, wie das Gefühl schon lange ahnt, ist der menschliche Körper ein einer Uridee entsprungener, in allen seinen Teilen und Dimensionen nach ein und demselben Grundverhältnis aufgebauter, inmitten der unendlichen Mannigfaltigkeit von seine individuellen Formen und die Freiheit seiner Bewegungen ist einer der vollkommensten, von Harmonie und Eurythmie durchdrungenen Organismen.“ (A

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Zeising) Goldener Schnitt: Berühmte Bauwerke der Architektur Das Vorkommen des Goldenen Schnitts ist also kein Mythos – auch die alten Tempelbauten der Antike entsprechen diesem Kompositionsprinzip Die Cheops-Pyramide (ca

2590-2470 v

Chr.) gilt nach heutigen Maßstäben als perfekt proportioniert.Auch der berühmte Tempel Parthenon in Athen, der um 450 v.Chr

erbaut wurde, verbindet die Proportionen mit erstaunlicher Präzision.Das Seitenverhältnis des Oberbaus zum Unterbau des Parthenon wurde nach dem konstruiert Regeln des Goldenen Schnitts

Neben dem Parthenon wurden nach Phi auch der Petersdom in Rom und der Kölner Dom nach dem „göttlichen Maß“ angelegt

Goldener Schnitt in der Vorgeschichte: Steinkeile

Auch Steinkeile aus der Vorgeschichte, die älteste Periode der Menschheitsgeschichte, zeigen die Proportionen des Goldenen Schnitts.Die Steinkeile wurden von unseren Vorfahren als Werkzeuge verwendet.Einige Steinkeile sind etwa 0,5 bis 1,3 Millionen Jahre alt rs alt und haben immer ähnliche Formen in diesem Teilungsverhältnis

In Urzeiten orientierte man sich bei der Verwendung von Steinkeilen unbewusst an der Gleichung, obwohl die Proportionslehre noch nicht schriftlich festgehalten war

Goldener Schnitt in der Natur: die goldene Spirale der Nautilus

Teilt man ein Quadrat nach dem Goldenen Schnitt, also der Zahl Phi, dann entsteht eine Reihe von ineinander verschachtelten Rechtecken

Wie bei Fibonacci ergibt sich jede Seitenlänge im Rechteck aus der Gesamtlänge der beiden folgenden Rechtecke

Wenn die Eckpunkte dieser Quadrate in einer gekrümmten Linie verbunden werden, erzeugen die Punkte dieser Drehungen eine logarithmische Spirale – die “Goldene Spirale”

Die Kalkschale der Meeresschnecke hat etwa die Steigung einer solchen Spirale, die auch mit zunehmender Größe ihre Biegeform nicht ändert

Die symmetrische Spirale durch verbundene Punkte kommt überall in der Natur vor: in Wirbelstürmen, in einem Farnblatt oder in ganzen Galaxien

Auch die Spiralen in der Blattstellung von Palmen entsprechen dem Kompositionsprinzip

Ob goldenes Dreieck oder goldenes Fünfeck – mit einer solchen Bildkomposition schaffen Sie ein spannendes Kunstwerk

Verwenden Sie diese Fokuspunkte als Werkzeug für Ihre eigenen Fotos, um eine aufregende Komposition zu erstellen

Spielen Sie mit der Asymmetrie in Ihren Werken und verwenden Sie die alte Gleichung!

Tipp: Haben Sie bereits Maßnahmen ergriffen, um das Teilungsverhältnis in Ihre Werke aufzunehmen? Präsentieren Sie das Motiv als großformatiges Kunstwerk und lassen Sie das Foto auf Leinwand drucken

Fotocollagen wirken besonders eindrucksvoll, wenn sich die gleiche Komposition in Dritteln durch alle Werke zieht

Erstellen Sie eine Reihe von Fotos, die am Goldenen Schnitt ausgerichtet sind

Ob im menschlichen Körper, der Lage der Blätter von Palmen, alten Steinkeilen, in der Innenarchitektur oder in der Komposition alter Kunstwerke: Überall kommt das Seitenverhältnis des Goldenen Schnitts zum Ausdruck

Dennoch ist die Gleichung ein erstaunliches Phänomen, dessen Ursprünge im Dunkeln bleiben

Der deutsche Physiker und Philosoph Carl Friedrich von Weizsäcker hat das Geheimnis dieses Schönheitssinns in Worte gefasst: „Vielleicht ist die allgegenwärtige verborgene Mathematik der Natur der Grund aller Schönheit.“ Andrea Bruchwitz

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Swing in Fellbach: „Goldene Zwanziger begeistern bis … Update

12.2.2022 · Rems-Murr-KreisGoldene Zwanziger … Swing in Fellbach „Goldene Zwanziger begeistern bis heute … Nach der Pause geht’s los mit Kurt Weill und seinem „Mackie Messer“, …

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1 Schlagzeuger und Bandleader Peter Fleischhauer in Aktion Foto: King of Swing Orchestra

„Babylon Swing“ verspricht mitreißenden Musikgenuss in der Fellbacher Schwabenlandhalle

Bandleader Peter Fleischhauer macht im Interview Lust auf diesen „Tanz auf dem Vulkan“

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Fellbach – Wer mit Peter Fleischhauer über sein musikalisches Leben der vergangenen Jahrzehnte plaudert, erlebt einen Schlagzeuger, der mit seinen Geschichten wie sonst mit seinen Drumsticks durch die Luft der Konzertsäle durch die Zeiten wirbelt

Er erzählt von Begegnungen mit Legenden wie seinem Freund Peter Herbolzheimer oder Rachel Goodman, der Tochter von Benny Goodman

Am Montag und Dienstag, 14

und 15

Februar, um 20 Uhr spielt Fleischhauers King of Swing Orchestra auf Einladung des Fellbacher Kulturamtes im großen Hölderlinsaal der Schwabenlandhalle

Im Interview erklärt der 68-jährige Bandleader, was sich hinter dem Titel „Babylon Swing – New York meets Berlin“ verbirgt

Herr Fleischhauer, frischer geht es nicht: Gestern Abend hatten Sie die Premiere von „Babylon Berlin“, wie war das?

Richtig, unser erstes Konzert mit diesem Programm hatten wir in Lünen in Westfalen

Ich muss sagen, es war super super anstrengend, vor allem nach den Zwischenfällen bei den Proben, mit Corona-Ausfällen, Lebensmittelvergiftungen und einem weiteren Unfall, als unser Moderator mit einem Bein in ein 50 mal 50 Zentimeter großes Loch neben der Bühne gefallen ist

Nach den Schmerzensschreien dachte ich, jetzt ist alles vorbei

Zum Glück hatte er keine ernsthafte Verletzung

Und nach der Aufführung, nach den begeisterten Reaktionen des Publikums, fällt alle Last ab

Allerdings ist uns aufgefallen, dass gerade der zweite Satz nach der Pause etwas zu lang ist

Die erste Hälfte ist 55 Minuten lang, die zweite bisher eine Stunde und 20 Minuten, also werden wir wahrscheinlich ein Lied herausnehmen und einen Teil des Textes kürzen

Eine alte Theaterregel lautet zweimal die Stunde – obwohl Freunde in Lünen hinterher sagten, dass es gar nicht zu lange vorkam

Eigentlich wollten wir unsere Tour 2020 starten, 2021 sollten wir in Fellbach auftreten – alles wurde verschoben

Jetzt gibt es eine Mini-Tour mit insgesamt vier Terminen, nach Fellbach folgt ein weiterer Gig in Friedrichshafen am Bodensee

Dann geht es erst im nächsten Jahr weiter, die Veranstalter sind noch sehr vorsichtig, was auch nachvollziehbar ist nach all den Planungen in den vergangenen Monaten, die dann wieder zu Absagen geführt haben.

Und aus der halbvollen Halle schauen die Besucher hinter ihren Masken auf dich zu

Wie sind eure Corona-Erfahrungen? Das war zeitweise deprimierend

An Silvester waren wir mit der Band in Itzehoe an der Spitze Schleswig-Holsteins – das war eigentlich das erste Konzert seit zwei Jahren

Einen Raum, der nur halb voll ist, nimmt man nicht wirklich wahr

Diese ganzen Mund-Nasen-Bedeckungen, das hat etwas von einem OP-Saal, aber daran gewöhnt man sich schnell

Bei großen Formationen wie unserer ist das in Corona-Zeiten aber sehr schwierig und mit den Abstandsregeln meist nicht möglich

Die WDR Big Band spielte mal in einem richtig großen Saal, die Hörner standen 1,5 bis 2 Meter auseinander, die Saxophone verteilten sich auf 12 Meter

Und vielen Chören geht es ähnlich – und das King of Swing Orchestra mit unserer Crew aus 19 Musikern plus vier Technikern muss auch mal untergebracht werden

Abends geht es auf Zeitreise in die Goldenen Zwanziger, nur mit Jazz New Orleans, Chicago und New York, dann schwappt es über den Teich.

So wie damals in den 1920er Jahren, als diese mitreißende Musik die Welt und damit auch Deutschland eroberte, begeistern die Goldenen Zwanziger die Menschen bis heute

2.200 Menschen passten damals in die Berliner Tanzpaläste, doppelt so viele wie in die Schwabenlandhalle

Wir erinnern uns an Josephine Baker, unser Tanzpaar präsentiert einen Charleston und insgesamt sechs oder sieben andere Tänze

Aber wir setzen auch auf die Interaktion mit dem Publikum – bei Cab Calloways „Minnie the Moocher“ kennt man das vielleicht aus dem Film „Blues Brothers“ von 1980, wo er selbst agierte, mit dem Call and Response in „Hidee hidee hidee hi – Hode hode hode ho!” – Fellbacher dürfen sich gerne mit ganzer Kraft einbringen

Und deutsche Schlager aus diesen Jahren dürfen auch nicht fehlen?

Nach der Pause geht es los mit Kurt Weill und seinem „Mackie Messer“, wir haben den Drehorgelsound auf ein Saxophon umarrangiert gesetzt

Dann einige beliebte Hits aus den späten 20ern und frühen 30ern, Marlene Dietrich mit dem nur zwei Minuten langen Song „If a girl has a gentleman“, das kannte ich vorher gar nicht

Und schließlich ist da noch „The night is not nur zum Schlafen da“ aus dem Film „Tanz auf dem Vulkan“ – das passt der ganze Abend über diesen Urknall vor 100 Jahren, mit dem körperlichen Gefühl gelebter Freiheit, dem Tanzen, mit den entfesselten Rhythmen und einem hemmungslosen Rausch, der kann Ende auch böse – so viel Schwung im Sündenbabel, wie der Titel schon sagt.

Lesen Sie unser Plus-Angebot: Erinnerungen an einen ungewöhnlichen Lehrer

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★ Introduction to This Music ★
This is a 5-dimensional healing frequency meditation music that delivers infinite healing power. High levels of positive energy will heal your body and mind and boost your vibrations.
When you exist as a positive energy, you can deliver positive energy to the Earth, and it will flow as a positive energy in balance with the universe.
For your healthy life and harmony with the universe, this meditation music will help you meditate deeply.
Infinite energy is flowing for you.
Please receive the gift of the universe.
Blessing! Peace!
——————————————————————— ♡
▶ Track information.
Composer : Dahye
Release a Album : Infinite Healing Golden Wave
Title : Infinite Healing Golden Wave
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Healing Meditation channel is a channel for meditation music by composer Dahye.
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Adobe After Effects 2020
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NEKTAR IMPACT GX49
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★ Introduction to Healing Meditation Music ★
Healing Meditation produces meditation music with AN frequency. Meditation music of healing meditation will help your life, meditation and reality positively. Have a peaceful and happy time.
※ What is healing meditation’s AN Frequency.
AN frequency is short for Angel Number Frequency.
Meditation Music of healing meditation uses consecutive numbers from 1 to 9 numbers. Meditation is a total of nine different frequency types.
A series of numbers contains a spiritual message, and in ancient Egypt it was said that the message was received in a similar way. Successive numbers contain spiritual messages, and each frequency meditation music of healing meditation will guide your reality in a positive direction.
– 11Hz 111Hz 1111Hz :
Confirm guardian angels.
Positive energy of the guardian angel.
– 22Hz 222Hz 2222Hz :
Energy of life, Balanced in life.
Health of Body and Mind.
– 33Hz 333Hz 3333Hz :
Ability improvement, wisdom of life.
Relieve pain.
– 44Hz 444Hz 4444Hz :
Overcoming fear, liberating guilt,
Cleansing for Negative Energy.
– 55Hz 5555Hz 5555Hz :
Positive change, future creation.
Soul Reset, Return to pure soul.
– 66Hz 666Hz 6666Hz :
Balance of matter and spirituality.
– 77Hz 777Hz 7777Hz :
The beginning of spiritual awakening,
Spiritual Big Bang.
– 88Hz 888Hz 8888Hz:
receive unexpected rewards,
positive abundance.
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Highest frequency of spiritual light.
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The zero frequency is thought to have the effect of adding “O” zero to the AN frequency, thereby amplifying the influence of the intrinsic number.

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– Body health recovery.
– Natural healing power recovery.
– Body detox.
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※ Mind Meditation Music
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– Balance of mind
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– Spiritual detoxification.
– Spiritual development.
– Spiritual energy balance.
※ Energy rising meditation music.
– Home, office energy rise.
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Artist DAHYE is a meditator, a meditative music composer.
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Hörls goldene Hähne krähen für guten Zweck – Landau … New Update

16.2.2022 · Der Wertheimer Konzeptkünstler Ottmar Hörl hat am Mittwoch 30 goldene Hähne nach Landau gebracht. Dort sind sie bei der VR-Bank Südpfalz in Landau zu bewundern. Und käuflich zu erwerben. Die Bank möchte laut Regionaldirektorin Sabine Heil „goldene Momente schaffen für Frauen und Kinder im Frauenhaus Südpfalz“.

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Wertheimer Konzeptkünstler Ottmar Hörl brachte am Mittwoch 30 goldene Hähne nach Landau

Dort sind sie bei der VR-Bank Südpfalz in Landau zu bestaunen

Und käuflich zu erwerben

Laut Landesvorstand Sabine Heil möchte die Bank „goldene Momente für Frauen und Kinder im Frauenhaus Südpfalz schaffen“

Der Erlös aus dem Hahn-Verkauf kommt der Einrichtung zugute

Das Geflügel kostet 80 Euro pro Schnabel

Die Figur geht auf eine Installation „Das Huhn, das goldene Eier legt, soll man nicht schlachten“ aus dem Jahr 2007 in der Baden-Württembergischen Bank in Stuttgart zurück

Der Hahn gehört für Hörl zu den sympathischen Figuren, mit denen er auf spielerische Weise seine Anliegen vermittelt

In diesem Fall: nachhaltig und wertbeständig wirtschaften und Ressourcen nutzen

Er sehe seine Arbeit zwischen Kunst und zwischen Menschen und gehe deshalb in den öffentlichen Raum, um zu kommunizieren, sagte der 71-Jährige

Die Farbe Gold schlägt für die VR-Bank die Brücke zur Geldanlage in Gold, die von den Kunden immer stärker nachgefragt wird

Zuletzt sorgte Ottmar Hörl mit seinem „Optimisten“ in Landau für Aufsehen, der während der Pandemie wochenlang als Mutmacher die Fassade des Rathauses zierte.

König Der Löwen – Der Ewige Kreis Update

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Neues Update zum Thema der goldene kreis

König der Löwen – Der Ewige Kreis Ist der Anfang von den Film. Ist ein schönes Lied, wünsche Euch viel Spaß beim Kucken.

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König Der Löwen – Der Ewige Kreis Update

Hingucker: Goldene Stunde – Hildesheimer Allgemeine New Update

15.3.2022 · Kreis Hildesheim – Jeden Tag veröffentlicht die Hildesheimer Allgemeine Zeitung ein Foto des Tages. Haben Sie auch einen ganz besonderen Schnappschuss gemacht? Dann senden Sie uns das Bild mit dem Betreff „Hingucker“ an [email protected] Goldene Stunde bei Nettlingen. Ein …

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Landkreis Hildesheim – Jeden Tag veröffentlicht die Hildesheimer Allgemeine Zeitung ein Foto des Tages

Hast du auch einen ganz besonderen Schnappschuss gemacht? Dann senden Sie das Bild mit dem Betreff „Hingucker“ an [email protected]

Gouden Cirkel van Overvloed en Welvaart | Verwijdert Geldvergrendelingen | Rijkdom Aantrekken 432 hz Update

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Weitere Informationen zum Thema der goldene kreis

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 Update  Gouden Cirkel van Overvloed en Welvaart | Verwijdert Geldvergrendelingen | Rijkdom Aantrekken 432 hz
Gouden Cirkel van Overvloed en Welvaart | Verwijdert Geldvergrendelingen | Rijkdom Aantrekken 432 hz New

Wirtshaus & Pension Goldenes Schiff, Passau … New Update

Das Goldene Schiff bietet Platz für bis zu 80 Gäste. Ideal also für eine Feier im geschlossenen Kreis. Für kleinere Gruppen bis zu 35 Personen kann ein Teil des Wirtshauses abgetrennt zur Verfügung gestellt werden. Wir unterstützen Sie natürlich sehr gerne bei der Wahl der Gerichte und der Erstellung einer individuellen Speisekarte.

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Eine lange Tradition

Das Goldene Schiff blickt auf eine lange Tradition zurück

Seit dem 13

Jahrhundert gibt es an dieser Stelle ein Gasthaus

Das heutige Gebäude wurde um 1750 vom Kloster Niederalteich wieder aufgebaut und beherbergte ab etwa 1800 das „Schulhaus am Sand“ des Klosters Vornbach

1890 ging das Gebäude in den Besitz der Brauerei Peschl über, der es noch heute gehört, die aber 2008 aus wirtschaftlichen Gründen ihre Brauerei schloss

An ihre Stelle tritt die Klosterbrauerei Aldersbach, die sich im Besitz der Familie von Aretin befindet

Das alte »Schiff« ging 2013 in der Jahrhundertflut unter, aber wir haben uns zusammengetan, um es wieder aufzubauen.

Frag immer erst: warum: Wie Top-Firmen und Führungskräfte zum Erfolg inspirieren – Simon Sinek New

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Frag immer erst: warum: Wie Top-Firmen und Führungskräfte zum Erfolg inspirieren – Simon Sinek
Ein großartiges Buch und ein großartiger Autor.
Schaue doch mal auf meiner Facebook-Seite vorbei, dort Teile ich aktuelle Ideen zu vorhandenen und zukünftigen Videos:
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 Update  Frag immer erst: warum: Wie Top-Firmen und Führungskräfte zum Erfolg inspirieren – Simon Sinek
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Karnevalsvereine im Kreis Kassel gehen zum … Aktualisiert

25.2.2022 · Hofgeismar. Akribisch hatte die Goldene Elf Hofgeismar im Dezember für die kommenden Tage geplant. „Aufgrund der Pandemie hatten …

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Karnevalsvereine im Landkreis gehen auf dem Höhepunkt der Session unterschiedlich mit den Krisen um

Von: Nela Müller

Teilt

Der Karneval wird virtuell: Der TSV Immenhausen, hier mit Lars Hartung und dem TSV Garde, hat in der Jahnturnhalle ein verrücktes Video gedreht

© TSV Immenhausen

Die Corona-Pandemie und die Ereignisse in der Ukraine bremsen das törichte Treiben

Wir haben mit Karnevalsvereinen aus dem Landkreis über Ausfälle und Alternativen gesprochen

Kreis Kassel – Gestern läuteten die Narren mit Weiberfastnacht den Höhepunkt der Karnevalssitzung ein

Bunt geschmückte Säle, lustige Kostüme und Umzüge prägen ansonsten die Tage bis zum Aschermittwoch

Auch Feiern wäre vielerorts im Landkreis an der Tagesordnung

In der Tat

Die Pandemie und der Krieg in der Ukraine haben die Feierlichkeiten zum Erliegen gebracht

Wir haben mit den örtlichen Karnevalsvereinen über Ausfälle und Alternativen gesprochen

Hofgeismar

Akribisch hatte die Goldene Elfe Hofgeismar im Dezember für die kommenden Tage geplant

„Aufgrund der Pandemie hatten wir überlegt, in Reithagen draußen zu feiern

Dafür hatten wir sogar grünes Licht von der Stadt“, berichtet Erwin Aßhauer, Vorsitzender des Karnevalsvereins

Gemäß der 2G-Verordnung soll es gefeiert werden

mit maximal 250 Personen, einem Bändchen für alle, Kaffee, Kuchen, Köstlichkeiten vom Grill und einem kleinen Rahmenprogramm

Aus dem Plan wurde aber nichts.“ Ende Januar haben wir uns entschieden, die Veranstaltung wegen der Infektionszahlen abzusagen ,“ so Aßhauer weiter

Alle Mitglieder des Vereins stehen hinter der Entscheidung

Auch wenn es ihnen natürlich besonders leid tut für die Jüngeren, die das ganze Jahr über z

B

in der Garde hart trainiert und das gerne gezeigt hätten vor Publikum.“ „Man holt sich in so einer Situation auch Rücksprache mit anderen Vereinen.“ Erik Lehnebach vom Grebensteiner Faschingsverein sagte zu mir: „Wir sind lieber mit einem guten Programm in der Zeitung als mit so vielen Schlagzeilen der Menschen wurden mit Cor infiziert Ona bei einer unserer Veranstaltungen.’ Dem stimme ich voll und ganz zu”, sagt der Vorsitzende

Der Fokus der Goldenen Elf Hofgeismar liegt nun auf 2023: Dann feiert der Verein sein 75-jähriges Bestehen

Immenhausen

Im vergangenen Jahr waren die Fußballer des TSV Immenhausen zuversichtlich, wenn es darum ging, den Höhepunkt des Jahres zu feiern Unter dem Motto „Wieder Helau“ waren Versammlungen und ein Rosenmontagsumzug geplant

Doch auch ihnen macht Corona einen Strich durch die Rechnung.“ Neben den steigenden Infektionszahlen seien die Maskenpflicht und die Teilnehmerbegrenzung einfach den Immenhauser Karneval – wie wir ihn kennen und lieben – nicht zugelassen

Der Infektionsschutz steht natürlich auch bei uns an oberster Stelle“, sagt Dirk Brede vom Festkomitee

Aber schon wieder ein Jahr ohne Karneval? Das kann man sich beim TSV nicht vorstellen

Deshalb haben sich die Verantwortlichen Alternativen einfallen lassen soll außerhalb der fünften Jahreszeit stattfinden, nämlich im Frühjahr.“ Der Frauenfasching ist für Donnerstag, den 19

Mai geplant, ein Treffen soll am Samstag, den 21

Mai stattfinden, die bisher vorbestellten Tickets behalten ihre Gültigkeit, teilte der TSV mit „Der Frauenfasching ist schon ausverkauft”, heißt es beim TSV

Wer nicht so lange warten möchte, kann morgen, Samstag, ab 20.11 Uhr eine anderthalbstündige Online-Session inklusive Interviews ansehen YouTube-Kanal (zu.hna.de/karnevaltsv) Zu sehen sind auch Ausschnitte aus dem aktuellen Programm aller Karnevalsgruppen, das dann im Mai in der Jahnturnhalle Baunatal erscheint

Die Mitglieder der Great Knights Carnevals Community (GCG) hätten von heute bis einschließlich Montag ein ordentliches Programm gehabt

„Freitags ist in der Regel unser Frauenfest

Samstags wird traditionell um 11.11 Uhr das Rathaus gestürmt, sonntags ist Kinderfasching und montags fahren wir nach Edermünde zum Rosenmontagsumzug“, sagt Dietrich Geißer, Abteilungsleiter der GCG, beschreibt einige Beispiele von Ereignissen

Was bleibt von all dem Faschingstrubel? „Wir werden am Sonntag eine kleine Party veranstalten, bei der wir im Beisein des Königspaares Medaillen überreichen werden

Es wird immer Gruppen mit maximal sechs Personen geben“, sagt Geißer

In Zeiten der Pandemie seien sich alle einig, dass man nicht nur ans Feiern denken sollte

„Es geht gerade um die Gesundheit

Dazu wollen wir natürlich einen Beitrag leisten“, so Geißer abschließend

Naumburg

„Hahl Dunne“ (Haltet durch, haltet zusammen) erklingt am Samstag und Sonntag durch Naumburg

Der Ruf des Naumburger Karnevalsvereins passt gut zur aktuellen Situation, wie Franziska Siebert sagt

Sie ist seit acht Jahren Vorsitzende des Vereins

„Eigentlich würden wir dieses Jahr unser 88-jähriges Jubiläum feiern

Unter anderem mit einem großen Rosenmontagsumzug“, sagt sie

Damit der Karneval nicht komplett ins Wasser fällt, haben die Narren andere Aktivitäten organisiert

Sie halten jedoch an einer Tradition fest: Die Prinzengarde macht am Samstag den Anfang

Aufgeteilt in 20 Gruppen werden sie in Naumburg an allen Türen klingeln und zum Beispiel ihre Faschingszeitung verkaufen

„Auch unsere Bürgerwehr ist mit der Stadtkapelle unterwegs“, erklärt Siebert

Am Sonntag haben die Naumburger dann die Möglichkeit, den Karneval zu Fuß zu erleben

Start ist um 11.11 Uhr im Kurpark

Auf der Strecke, die auf dem Marktplatz enden wird, sind zwölf Stationen geplant

Die Naumburg Fools sind sehr stolz auf ihre Mitglieder

Alle sind laut Siebert bei uns geblieben und haben dem Verein in der Pandemie nicht den Rücken gekehrt

„Die Naumburger lieben den Karneval

Deshalb ist es hier ein bisschen traurig, dass es nicht in der gewohnten Form stattfinden kann“, sagt Siebert

(Nela Müller)

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