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Tensor – Wikipedia Update New

Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Vektor abbildet und eine universelle Eigenschaft erfüllt. Er ist ein mathematisches Objekt aus der linearen Algebra, das in vielen Bereichen, so auch in der Differentialgeometrie, Anwendung findet und den Begriff der linearen Abbildung erweitert. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik …

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig

Siehe Tensor (Begriffsklärung) für andere Verwendungen

Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Vektor abbildet und eine universelle Eigenschaft erfüllt.[1] Es ist ein mathematisches Objekt aus der linearen Algebra, das in vielen Bereichen, einschließlich der Differentialgeometrie, verwendet wird und das Konzept der linearen Abbildung erweitert

Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert

In der Differentialgeometrie und den physikalischen Disziplinen werden Tensoren meist nicht im Sinne der linearen Algebra betrachtet, sondern es werden Tensorfelder behandelt, die der Einfachheit halber oft auch als Tensoren bezeichnet werden

Ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt im Raum einen Tensor zuordnet

Viele physikalische Feldtheorien befassen sich mit Tensorfeldern

Das prominenteste Beispiel ist die allgemeine Relativitätstheorie

Der mathematische Zweig, der sich mit dem Studium von Tensorfeldern befasst, wird als Tensoranalyse bezeichnet und ist ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen und technischen Disziplinen

Das Wort Tensor (abgeleitet vom Partizip Perfekt des lateinischen Tendere „strecken“) wurde von William in den 1840er Jahren geprägt, als Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt wurde; er verwendete es, um den absoluten Wert seiner Quaternionen zu bezeichnen, also keinen Tensor im modernen Sinne

James Clerk Maxwell scheint den Spannungstensor nicht selbst benannt zu haben, den er aus der Elastizitätstheorie auf die Elektrodynamik übertrug

In seiner modernen Bedeutung als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die grundlegenden physikalischen Eigenschaften von Kristallen in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) verwendet

Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und sein Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten.[2] Ihre Ergebnisse machten sie 1900 mit dem bald in andere Sprachen übersetzten Buch Calcolo differentiale assoluto einem größeren Fachpublikum zugänglich, aus dem Albert Einstein die mathematischen Grundlagen erwarb, die er zur Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie benötigte

Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalyse und trug mit seiner Theorie wesentlich zur Popularisierung der Tensorrechnung bei; er führte auch Einsteins Summationskonvention ein, wonach man über doppelt vorkommende Indizes unter Weglassung des Summenzeichens summiert

Arten von Tensoren [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Das Levi-Civita-Symbol in drei Dimensionen repräsentiert einen besonders einfachen dreistufigen Tensor

Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum heißen Skalare Tensoren vom Typ ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} , Spaltenvektoren heißen Tensoren vom Typ ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0) } und Kovektoren (oder

Zeilenvektoren) als Tensoren vom Typ ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)}

Tensoren höherer Ordnung sind als multilineare Abbildungen mit Tensoren niedrigerer Ordnung als Argumente und Abbildungswerte definiert

Beispielsweise kann ein Tensor vom Typ ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen oder als bilineare Abbildung mit einem Vektor und einem Covektor als Argumente angesehen werden.

Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Ordnung – eine Zahl (Spannungsstärke) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reicht nicht immer aus, um den Spannungszustand eines Körpers zu beschreiben

Als Tensor vom Typ ( 0 , 2 ) {\displaystyle (0,2)} konzipiert ist es eine lineare Abbildung, die die auf ein Flächenelement wirkende Kraft (als Vektor) (als Covektor) zuordnet, oder eine bilineare Abbildung die auf ein Flächenelement abgebildet wird und einem Verschiebungsvektor die Arbeit zuordnet, die verrichtet wird, wenn die Fläche unter dem Einfluss der angelegten Spannung verschoben wird

Bezogen auf eine feste Vektorraumbasis erhält man folgende Darstellungen der verschiedenen Arten von Tensoren:

Ein Skalar durch eine einzelne Zahl

Ein Vektor durch einen Spaltenvektor

Ein Covektor durch einen Zeilenvektor

Ein Tensor zweiter Ordnung durch eine Matrix

Die Aufbringung des Spannungstensors auf ein Flächenelement erfolgt dann z

B

durch das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben

Die Koordinaten von Tensoren höherer Ordnung können entsprechend in ein höherdimensionales Schema eingeordnet werden

Daher können diese Komponenten eines Tensors im Gegensatz zu denen eines Spaltenvektors oder einer Matrix mehr als einen oder zwei Indizes haben

Ein Beispiel für einen Tensor dritter Ordnung, der drei Vektoren von R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} als Argumente verwendet, ist die Determinante einer 3×3-Matrix als Funktion der Spalten dieser Matrix

In Bezug auf eine orthonormale Basis wird es durch das Levi-Civita-Symbol ε i j k {\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}} dargestellt

Ko- und Kontravarianz von Vektoren [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die Begriffe Ko- und Kontravariante beziehen sich auf die Koordinatendarstellungen von Vektoren, linearen Formen und werden auch auf Tensoren angewendet, wie später in diesem Artikel beschrieben

Sie beschreiben, wie sich solche Koordinatendarstellungen bezüglich eines Basiswechsels im zugrunde liegenden Vektorraum verhalten

Setzt man eine Basis ( e 1 , … , en ) {\displaystyle (e_) in einen n {\displaystyle n} -dimensionalen Vektorraum V {\displaystyle V} {1},\dotsc ,e_{n})} , dann kann jeder Vektor v ∈ V {\displaystyle v\in V} dieses Raums durch ein Zahlentupel ( x 1 , … , xn ) {\displaystyle (x^{ 1},\dotsc ,x^{n })} – seine Koordinaten – kann durch v = ∑ kekxk {\displaystyle \textstyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}} dargestellt werden

Wenn die Darstellung von Koordinaten auf einer anderen Basis von V {\displaystyle V} basiert, dann ändern sich die Koordinaten (ein und desselben Vektors) in Bezug auf diese neue Basis

Der Übergang auf eine andere Basis erfordert daher eine Transformation der Koordinatendarstellung

Dabei gilt: Ist die neue Basis gegeben durch ej ′ = ∑ kek A kj {\displaystyle \textstyle e’_{j}=\sum _{k}e_{k}\,A^{k}{}_ {j} } wird in der alten Basis ermittelt, die neuen Koordinaten ergeben sich aus einem Vergleich in

v = ∑ kekxk = ∑ jej ′ x ′ j = ∑ j , kek A kjx ′ j , {\displaystyle v=\sum _{ k}e_{k}\,x^{k}=\sum _{j}e’_{j}\,x’^{j}=\sum _{j,k}e_{k}\,A ^{k }{}_{j}\,x’^{j},}

damit:

xk = ∑ j EIN kjx ‘jx ‘j = ∑ k ( EIN – – 1 ) jkxk {\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}&=\sum _{j}A^{k}{}_{ j}\,x’^{j}\\x’\,^{j}&=\sum _{k}(A^{-1})^{j}{}_{k}\,x^ {k}\end{aligned}}}

Wenn du beispielsweise eine orthogonale Basis in einem dreidimensionalen euklidischen Raum V {\displaystyle V} um 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} um die z {\displaystyle z} -Achse drehst, sind die Koordinatenvektoren in den Koordinatenraum R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ebenfalls um die z {\displaystyle z} -Achse drehen, aber in die entgegengesetzte Richtung, also um − 30 ∘ {\displaystyle -30^{\ Kreis }}

Dieses der Grundtransformation entgegengesetzte Transformationsverhalten wird als kontravariant bezeichnet

Um die Notation zu verkürzen, werden Vektoren häufig mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert, daher werden Vektoren allgemein als kontravariant bezeichnet.

Eine lineare Form oder ein Kovektor hingegen ist eine skalare lineare Abbildung α : V → K {\displaystyle \alpha \colon V\ zu \mathbb{K}} dem Vektorraum

Seine Werte auf den Basisvektoren, α k = α ( e k ) {\displaystyle \alpha _{k}=\alpha (e_{k})} , können ihm als Koordinaten zugewiesen werden

Die Koordinatenvektoren einer linearen Form transformieren sich wie das Basistupel als

α j ‘ = α ( ej ‘ ) = ∑ k α ( ek EIN kj ) = ∑ k α k EIN kj , {\ displaystyle \ alpha ‘_ {j} = \ alpha (e’_ {j}) = \ sum _{k}\alpha (e_{k}\,A^{k}{}_{j})=\sum _{k}\alpha _{k}\,A^{k}{}_{j },}

weshalb dieses Transformationsverhalten als kovariant bezeichnet wird

Identifiziert man Linearformen wieder mit ihren Koordinatenvektoren, so nennt man auch Linearformen im Allgemeinen kovariant

Hier ergibt sich, wie bei Vektoren, die zugrunde liegende Basis aus dem Kontext

Man spricht in diesem Zusammenhang auch von dualen Vektoren

Diese Bezeichnungen werden auf Tensoren übertragen

Dies wird im nächsten Abschnitt über die Definition von ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} Tensoren erklärt.

(r,s) Tensorraum [ edit | Quelle bearbeiten ]

Im Folgenden sind alle Vektorräume über dem Körper K {\displaystyle K} endlichdimensional

L ( E ; K ) {\displaystyle L(E;K)} bezeichnet die Menge aller linearen Formen aus dem K {\displaystyle K} -Vektorraum E {\displaystyle E} in das Feld K {\displaystyle K} und – allgemeiner – mit L ( E 1 ; E 2 ) {\displaystyle L(E_{1};E_{2})} die Menge aller K {\displaystyle K} -linearen Abbildungen eines K {\displaystyle K} -Vektorraum E 1 {\displaystyle E_{1}} in einen K {\displaystyle K} -Vektorraum E 2 {\displaystyle E_{2}}

Wenn E 1 , … , E k {\displaystyle E_{1},\dotsc ,E_{k}} Vektorräume über K {\displaystyle K} sind, dann ist der Vektorraum multilinearer Formen E 1 × E 2 × ⋯ × E k → K {\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to K} mit L k ( E 1 , E 2 , … , E k ; K ) { \displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)} bezeichnet

Entsprechend sei L k ( E 1 , E 2 , … , E k ; E ) {\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)} bezeichnet die Menge aller K {\displaystyle K} -multilinearen Abbildungen E 1 × E 2 × ⋯ × E k → E {\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to E} , hier besonders die k {\displaystyle k} -fachen K {\displaystyle K} -linearen Karten

Bei E = K {\displaystyle E=K} und k = 2 {\displaystyle k=2} handelt es sich um bilineare Formen

Wenn E {\displaystyle E} ein K {\displaystyle K} -Vektorraum ist, dann bezeichnet E ∗ := L ( E ; K ) {\displaystyle E^{*}:=L(E;K)} dessen Dual Platz

Dann gibt es (nach der universellen Eigenschaft) kanonische Isomorphismen

L k ( E 1 , E 2 , … , E k ; K ) ≅ ( E 1 ⊗ E 2 ⊗ … ⊗ E k ) ∗ ≅ E 1 ∗ ⊗ E 2 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ E k ∗ {\ displaystyle L ^ { k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)\cong (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{* }\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*}}

und allgemeiner

L k ( E 1 , E 2 , … , E k ; E ) ≅ L ( E 1 ⊗ E 2 ⊗ … ⊗ E k ; E )

{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)\cong L(E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_ {k};E).}

Der kanonische Isomorphismus E ≅ E ∗ ∗ = L ( E ∗ ; K ) {\displaystyle E\cong E^{**}=L(E^{*};K)} eines Vektorraums E {\displaystyle E} mit seinem Bidualraum E ∗ ∗ {\displaystyle E^{**}} wegen (durch Ersetzen von E i {\displaystyle E_{i}} durch E i ∗ {\displaystyle E_{i}^{*}} und daher durch E

ich ∗ {\displaystyle E_{i}^{*}} bis E

ich ∗ ∗ = E

ich {\displaystyle E_{i}^{**}=E_{i}} ), dass L k ( E 1 ∗ , E 2 ∗ , … , E k ∗ ; K ) {\displaystyle L^{k}(E_{1}^{*},E_{2}^{*},\dotsc ,E_{k}^{ *} ;K)} ist isomorph zum Tensorprodukt E 1 ⊗ E 2 ⊗ ⋯ ⊗ E k {\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsb \otimes E_{k}}

(Zur Realisierung des Tensorproduktraums als Raum multilinearer Formen und zur kanonischen Identifikation ( E 1 ⊗ E 2 ⊗ … ⊗ E k ) ∗ ≅ E 1 ∗ ⊗ E 2 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ E k ∗ {\displaystyle (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^ {*}} , das in diesem Abschnitt häufiger verwendet wird, siehe die Abschnitte zur universellen Eigenschaft und zu Tensorprodukten und multilinearen Formen.)

Es gibt natürliche Isomorphismen der folgenden Art:

L k ( E 1 , E 2 , … , E k ; K ) ≅ L m ( E 1 , … , E m ; E m + 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ E k ∗ ) ≅ L ( E 1 ⊗ ⋯ ⊗ E m ; E m + 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ E k ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)&\ cong L^{m}(E_{1},\dotsc ,E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsb \otimes E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\end{aligned}}}

Diese natürlichen Isomorphismen beruhen einerseits und auf der Reduktion von n {\displaystyle n} -fachen linearen Abbildungen auf ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -fachen linearen Abbildungen (vgl

Currying oder Schönfinkeln)

die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts hingegen – mehrfach angewendet – beruht auf:

L k ( E 1 , … , E k ; E ) ≅ L k − 1 ( E 1 , … , E k − 1 ; L ( E k ; E ) ) ≅ L k − 2 ( E 1 , … , E k − 2 ; L ( E k − 1 ; L ( E k ; E ) ) ) ≅ L k − 2 ( E 1 , … , E k − 2 ; L 2 ( E k − 1 , E k ; E ) ) ≅ L ( E 1 ⊗ … ⊗ E k − 2 ; L ( E k − 1 ⊗ E k ; E ) ) ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ≅ L ( E 1 ⊗ … ⊗ E m ; L ( E m + 1 ⊗ … ⊗ E k ; E ) ) für 0 ≤ m ≤ k {\displaystyle {\begin{aligned}L^{k}(E_{1},\dotsc ,E_{k};E)&\cong L^{k-1 }(E_{1},\dotsc ,E_{k-1};L(E_{k};E))\\&\cong L^{k-2}(E_{1},\dotsc ,E_{ k-2};L(E_{k-1};L(E_{k};E)))\\&\cong L^{k-2}(E_{1},\dotsc ,E_{k- 2};L^{2}(E_{k-1},E_{k};E))\\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{k-2};L( E_{k-1}\otimes E_{k};E))\\&\;\;\vdots \qquad \cdots \;\cdots \;\cdots \\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{m};L(E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k};E)){\text{ für }}0\leq m\leq k\\\end{ ausgerichtet}}}

Speziell für E = K {\displaystyle E=K} existiert der oben behauptete natürliche Isomorphismus

L k ( E 1 , … , E k ; K ) ⟶ ∼ L ( E 1 ⊗ … ⊗ E m ; E m + 1 ∗ ⊗ … ⊗ E k ∗ ) λ ⟼ [ λ ( 1 , … , m ) : v 1 ⊗ … ⊗ vm ↦ λ ( v 1 , … , vm ) ∈ ( E m + 1 ⊗ … ⊗ E k ) ∗ ] , wobei [ λ ( v 1 , … , vm ) : ( vm + 1 ⊗ … ⊗ vk ) ↦ λ ( v 1 , … , vk ) ] {\displaystyle {\begin{matrix}L^{k}(E_{1},\dotsc ,E_{k};K)&{\stackrel {\sim } {\longrightarrow}}&L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsc \otimes E_{k}^{*})\\\ lambda &\longmapsto &\left[\lambda _{(1,\dotsc ,m)}\colon v_{1}\otimes \dotsc \otimes v_{m}\mapsto \lambda _{(v_{1},\ dotsc ,v_{m})}\in (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\right]{\text{ ,}}\\&&{\text{wobei }}\left[\lambda _{(v_{1},\dotsc ,v_{m})}\colon (v_{m+1}\otimes \dotsc \otimes v_{k})\mapsto \lambda (v_ {1},\dotsc,v_{k})\right]\\\end{matrix}}}

λ ( 1 , … , m ) ∈ ( E m + 1 ⊗ … ⊗ E k ) ∗ {\displaystyle \lambda _{(1,\dotsc ,m)}\in (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}}

( E m + 1 ⊗ … ⊗ E k ) ∗ ≅ E m + 1 ∗ ⊗ … ⊗ E k ∗ {\displaystyle (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\ cong E_{m+1}^{*}\otimes \dotsc \otimes E_{k}^{*}}

K

{\displaystyle K}

m = 0 {\displaystyle m=0}

m = k {\displaystyle m=k}

K

{\displaystyle K}

K

{\displaystyle K}

V {\displaystyle V}

W {\displaystyle W}

L ( V ; W ) ⟶ ∼ L ( V ⊗ W ∗ ; K ) ≅ V ∗ ⊗ W f ⟼ ( β : v ⊗ μ ↦ μ ∘ f ( v ) ) {\ displaystyle {\ begin {matrix} L (V ;W)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V\otimes W^{*};K)\cong V^{*}\otimes W\\f&\longmapsto &(\beta \colon v\otimes \mu \mapsto \mu \circ f(v))\\\end{matrix}}}

und für die lineare Form wird die Identifizierung vorgenommen

Hier genügt es, die Abbildungen auf die elementaren Tensoren (siehe auch Abschnitt Tensor als Element des Tensorprodukts) als erzeugendes System über dem Grundkörper zu definieren

Zu ergänzen ist, dass in den Fällen und das leere Tensorprodukt entsteht, das mit dem Grundkörper identifiziert werden kann

Insbesondere gibt es für -Vektorräume und die Identifikation

Definition: Für einen festen Vektorraum E {\displaystyle E} über einem Körper K {\displaystyle K} mit dualem Raum E ∗ {\displaystyle E^{*}} sei T sr ( E , K ) {\displaystyle T_{s }^ {r}(E,K)} definiert durch

T sr ( E , K ) := L r + s ( E ∗ , … , E ∗ , E , … , E ; K ) {\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (E, K): = L ^ {r+s}(E^{*},\dotsc,E^{*},E,\dotsc,E;K)}

mit r {\displaystyle r} Einträgen von E ∗ {\displaystyle E^{*}} und s {\displaystyle s} Einträgen von E {\displaystyle E}

Elemente dieser Menge werden Tensoren genannt, Kontravariante von Stufe r {\displaystyle r} und Kovariante von Stufe s {\displaystyle s}

Kurz gesagt spricht man von Tensoren vom Typ ( r , s ) {\displaystyle (r,s)}

Die Summe r + s {\displaystyle r+s} wird als Stufe oder Rang des Tensors bezeichnet.[3][4]

Mit den obigen Überlegungen (für r = m {\displaystyle r=m} und r + s = k {\displaystyle r+s=k} und E i = E {\displaystyle E_{i}=E} für i ∈ { 1 , … , r } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,r\}} oder E i = E ∗ {\displaystyle E_{i}=E^{*}} für i ∈ { m + 1 , … , k } {\displaystyle i\in \{m+1,\dotsc ,k\}} ) ergibt insgesamt

T sr ( E , K ) := L r + s ( E ∗ , … , E ∗ ⏟ r Einträge , E , … , E ⏟ s Einträge ; K ) ≅ L ( E ∗ ⊗ … ⊗ E ∗ ⏟ r Faktoren ; E ∗ ⊗ … ⊗ E ∗ ⏟ s-Faktoren ) ≅ E ⊗ … ⊗ E ⏟ r-Faktoren ⊗ E ∗ ⊗ … ⊗ E ∗ ⏟ s-Faktoren {\displaystyle {\begin{aligned}T_{s}^{r}(E ,K)&:=L^{r+s}(\underbrace {E^{*},\dotsc ,E^{*}} _{r{\text{ Einträge}}},\underbrace {E,\ dotsc ,E} _{s{\text{ Einträge}}};K)\\&\cong L(\underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{r{\ Text{ Faktoren}}};\underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}})\\&\cong \underbrace {E\otimes \dotsc \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}} \otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}} \end{aligned}}}

Also realisiert der Vektorraum T sr ( E , K ) {\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)} von Tensoren vom Typ ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} das Tensorprodukt E ⊗ ⋯ ⊗ E ⏟ r Faktoren ⊗ E ∗ ⊗ ⋯ ⊗ E ∗ ⏟ s Faktoren {\displaystyle \underbrace {E\otimes \dotsb \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace { E^{*}\otimes \dotsb \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}} , und zwar durch die obige kanonische Identifikation

T sr ( E , K ) = L ( E ∗ , … , E ∗ ⏟ r , E , … , E ⏟ s ; K ) ⟶ ∼ E ⊗ … ⊗ E ⏟ r ⊗ E ∗ ⊗ … ⊗ E ∗ ⏟ s { \displaystyle {\begin{matrix}T_{s}^{r}(E,K)=L(\underbrace {E^{*},\dotsc ,E^{*}} _{r},\underbrace { E,\dotsc ,E} _{s};K)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\underbrace {E\otimes \dotsc \otimes E} _{r}\otimes \underbrace {E ^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s}\\\end{matrix}}}

Diese natürlichen Isomorphismen bedeuten, dass Tensoren vom Rang r + s > 2 {\displaystyle r+s>2} auch induktiv als multilineare Abbildungen zwischen Tensorräumen niedrigeren Ranges definiert werden können

Es gibt mehrere äquivalente Möglichkeiten für einen Tensor eines bestimmten Typs.

In der Physik sind die Vektorräume meist nicht identisch, z

z.B

Sie können einen Geschwindigkeitsvektor und einen Kraftvektor nicht addieren

Allerdings kann man die Richtungen miteinander vergleichen, d.h

das heißt, die Vektorräume identifizieren sich bis auf einen Skalarfaktor

Daher kann die Definition von Tensoren vom Typ ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} entsprechend angewendet werden

Es sei noch erwähnt, dass (dimensionale) Skalare in der Physik Elemente eindimensionaler Vektorräume sind und Skalarprodukt-Vektorräume mit ihrem dualen Raum identifiziert werden können

Du arbeitest z.B

mit Kraftvektoren, obwohl Kräfte ohne Verwendung des Skalarprodukts als Kovektoren zu betrachten sind

Äußeres Tensorprodukt [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Eine Operation ⊗ {\displaystyle \otimes } zwischen zwei Tensoren nennt man (äußeres) Tensorprodukt oder Tensormultiplikation

Sei E {\displaystyle E} ein Vektorraum und sei t 1 ∈ T s 1 r 1 ( E ) {\displaystyle t_{1}\in T_{s_{1}}^{r_{1}}(E) } und t 2 ∈ T s 2 r 2 ( E ) {\displaystyle t_{2}\in T_{s_{2}}^{r_{2}}(E)} Tensoren

Das (äußere) Tensorprodukt von t 1 {\displaystyle t_{1}} und t 2 {\displaystyle t_{2}} ist der Tensor t 1 ⊗ t 2 ∈ T s 1 + s 2 r 1 + r 2 ( E ) {\displaystyle t_{1}\otimes t_{2}\in T_{s_{1}+s_{2}}^{r_{1}+r_{2}}(E)} , was gegeben ist durch

( t 1 ⊗ t 2 ) ( β 1 , … , β r 1 , γ 1 , … , γ r 2 , f 1 , … , fs 1 , g 1 , … , gs 2 ) := t 1 ( β 1 , … , β r 1 , f 1 , … , fs 1 ) t 2 ( γ 1 , … , γ r 2 , g 1 , … , gs 2 ) {\displaystyle \left(t_{1}\otimes t_{2} )(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},f_{1},\dotsc , f_{s_{1}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}}\right):=t_{1}(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1 }},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}})t_{2}(\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},g_{1},\ Punktec ,g_{s_{2}})}

ist definiert

Hier die β j , γ j ∈ E ∗ {\displaystyle \beta ^{j},\gamma ^{j}\in E^{*}} und die fj , gj ∈ E {\displaystyle f_{j}, g_ {j}\in E}.

Beispiele für (r,s)-Tensoren [ edit | Quelle bearbeiten ]

Im Folgenden sind E {\displaystyle E} und F {\displaystyle F} endlichdimensionale Vektorräume

Die Menge der (0,0)-Tensoren ist isomorph mit dem zugrunde liegenden Feld K {\displaystyle K}

(0,1)-Tensoren ordnen einer Linearform und einem Vektor keine Zahl zu, entsprechen also den Linearformen L ( E , K ) = E ∗ {\displaystyle L(E,K)=E^{*} } E {\displaystyle E}

(1,0) Tensoren ordnen einer linearen Form eine Zahl zu und nicht einem Vektor

Sie sind somit Elemente des bidualen Vektorraums E ∗ ∗ {\displaystyle E^{**}} E {\displaystyle E} T 0 1 ( E ) ≅ E ∗ ∗ ≅ E {\displaystyle T_{0}^{1 }( E)\cong E^{**}\cong E} Isomorphismus).

Isomorphismus)

Eine lineare Abbildung E → F {\displaystyle E\to F} E ∗ ⊗ F {\displaystyle E^{*}\otimes F}

Eine bilineare Form von Skalarprodukten als (0,2)-Tensoren

.Betrachten Sie Skalarprodukte als (0,2)-Tensoren

Das Kronecker-Delta δ {\displaystyle \delta } E ∗ ⊗ E ∗ {\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}} δ : E × E → K {\displaystyle \delta \colon E\times E \ zu K}

δ ( ei , ej ) = { 1 , wenn ich = j , 0 , wenn ich ≠ j , {\displaystyle \delta (e_{i},e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1 ,&{\mbox{if }}i=j,\\0,&{\mbox{if }}i

eq j,\end{matrix}}\right.} bestimmt.

Die Determinante des Levi-Civita-Symbols n × n {\displaystyle n\times n} (der „Epsilon-Tensor“)

Insbesondere in drei reellen Dimensionen ist die Determinante det : R 3 × R 3 × R 3 → R {\displaystyle \det \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\ mal \ mathbb {R} ^{3} \to \mathbb {R} } ε ijk = det ( ei , ej , ek ) {\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\det(e_{i},e_{j }, e_{k})}

Levi-Civita-Symbol (der „Epsilon-Tensor“)

Insbesondere in drei realen Dimensionen ist die Determinante Ein weiteres Beispiel für einen kovarianten Tensor zweiter Ordnung ist der Trägheitstensor.

In der Elastizitätstheorie wird die Hookesche Gleichung über den Zusammenhang zwischen Kräften und zugehörigen Dehnungen und Dehnungen in einem elastischen Medium verallgemeinert, ebenfalls mit Hilfe der Tensorrechnung, indem der Dehnungstensor, der Dehnungen und Verformungen beschreibt, und der Spannungstensor, der Dehnungen beschreibt, eingeführt werden beschreibt die Kräfte, die die Verformungen verursachen

Siehe auch unter Kontinuumsmechanik

Sei ( V , g ) {\displaystyle (V,g)} Skalarprodukt g {\displaystyle g} g {\displaystyle g} ein metrischer Tensor oder kurz “metrisch”

Beachten Sie, dass sich g {\displaystyle g} in einem metrischen Raum befindet, aber einen erzeugt

Mit gij {\displaystyle g_{ij}} V {\displaystyle V} vi {\displaystyle v^{i}} wj {\displaystyle w^{j}} v {\displaystyle v} w {\displaystyle w} v { \displaystyle v} w {\displaystyle w}g {\displaystyle g}

g ( v , w ) = ∑ ich , j G ich j v ich w j

{\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j}g_{ij}v^{i}w^{j}.} Der Übergang zwischen ko- und kontravarianten Tensoren kann mit der Metrik von xi bestimmt werden = ∑ jgijxj {\displaystyle x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}}

In der Differentialgeometrie auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist diese Metrik zusätzlich eine Funktion des Ortes

Eine tensorwertige Funktion des Ortes wird als Tensorfeld bezeichnet, im Falle des metrischen Tensors speziell als Riemannsche Metrik

In der Theorie der Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten wird der Begriff des metrischen Tensors so verallgemeinert, dass auf die Bestimmtheit des Skalarprodukts verzichtet wird

Die wichtigste Anwendung ist die Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie wird anstelle der euklidischen Metrik die uneigentliche Metrik des Minkowski-Raums verwendet

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird ein Tensorfeld mit der gleichen Signatur wie die Minkowski-Metrik verwendet

Basis und Dimension [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Wenn E {\displaystyle E} wie oben ein Vektorraum ist, dann sind auch die Räume T s r ( E ) {\displaystyle T_{s}^{r}(E)} Vektorräume

Außerdem sei E {\displaystyle E} nun endlichdimensional mit der Basis { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}

Die duale Basis wird mit { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}} bezeichnet

Der Raum T s r ( E ) {\displaystyle T_{s}^{r}(E)} von Tensoren ist dann auch endlichdimensional und

{ e ich 1 ⊗ ⋯ ⊗ e ich r ⊗ e j 1 ⊗ ⋯ ⊗ e j s | ich 1 , … , ir , j 1 , … , js = 1 , … , n } {\displaystyle \left\{\left.e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}} \otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}\right|i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{ s}=1,\dotsc,n\right\}}

ist eine Basis dieses Zimmers

Das heißt, jedes Element kann ∑ i 1 , … , ir , j 1 , … , js = 1 , … t ∈ T sr ( E ) {\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)} sein , naj 1 , … , jsi 1 , … , irei 1 ⊗ ⋯ ⊗ eir ⊗ ej 1 ⊗ ⋯ ⊗ ejs {\displaystyle \sum _{i_ {1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\ dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n}a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_ {1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1} }\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}}

vertreten zu sein

Die Dimension dieses Vektorraums ist T s r ( E ) = n r + s {\displaystyle T_{s}^{r}(E)=n^{r+s}}

Wie in jedem endlichdimensionalen Vektorraum reicht es auch im Raum der Tensoren aus, zu sagen, wie eine Funktion auf der Basis arbeitet

Da die obige Summendarstellung viel Papierkram erfordert, wird oft Einsteins Summationskonvention verwendet

In diesem Fall schreibst du also

ein j 1 , … , j s ich 1 , … , ich r e ich 1 ⊗ ⋯ ⊗ e ich r ⊗ e j 1 ⊗ ⋯ ⊗ e j s

{\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{ r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}.}

Die Koeffizienten aj 1 , … , jsi 1 , … , ir {\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}} werden Komponenten von die genannten Tensoren bezüglich der Basis { e 1 , … , en } {\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}

Oft werden die Komponenten des Tensors mit dem Tensor selbst identifiziert

Siehe dazu Tensordarstellungen der Physik

Basiswechsel und Koordinatentransformation [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Seien { ei 1 ′ , … , a ′ } {\displaystyle \{e’_{i_{1}},\dotsc ,e’_{i_{n}}\}} und { ei 1 , … , a } {\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}} verschiedene Basen der Vektorräume V 1 , … , V n {\displaystyle V_{1},\dotsc , V_ {n}}

Jeder Vektor, also jeder Basisvektor e i l {\displaystyle e_{i_{l}}} lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren e i l ′ {\displaystyle e’_{i_{l}}} darstellen

Der Basisvektor sei dargestellt durch e i l {\displaystyle e_{i_{l}}}

e ich l = ∑ j l ein j l , ich l e j l ‘

{\displaystyle e_{i_{l}}=\sum _{j_{l}}a_{j_{l},i_{l}}e’_{j_{l}}}.}

Die Größen ajl , il {\displaystyle a_{j_{l},i_{l}}} bestimmen die Basistransformation zwischen den Basen { eil ′ } {\displaystyle \{e’_{i_{l}}}\}} und {Teil} {\displaystyle \{e_{i_{l}}\}}

Dies gilt für alle l = 1 , … , n {\displaystyle l=1,\dotsc ,n}

Dieser Vorgang wird Basiswechsel genannt

Seien außerdem T i 1 , … , in {\displaystyle T_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}} die Komponenten des Tensors T {\displaystyle T} in Bezug auf die Basis { ei 1 , … , a } {\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}

Die Gleichung ergibt sich dann für das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten

T ich 1 , … , ich n ‘ = ∑ j 1 … ∑ j n ein ich 1 , j 1 … ein ich n , j n T j 1 , … , j n

{\displaystyle T’_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}=\sum _{j_{1}}\dots \sum _{j_{n}}a_{i_{1 },j_{1}}\dots a_{i_{n},j_{n}}T_{{j_{1}},\dotsc ,{j_{n}}}.}

In der Regel ist die Koordinatendarstellung des Tensors T i 1 , … , in ′ {\displaystyle T’_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}} und der Transformationsmatrix aj 1 , i 1 … ajn , in {\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}} ausgezeichnet

Die Transformationsmatrix aj 1 , i 1 … ajn , in {\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}} ist eine indizierte Größe, aber nicht a Tensor

Im euklidischen Raum sind dies Rotationsmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z

B

Lorentz-Transformationen, die auch als “Rotationen” in einem vierdimensionalen Minkowski-Raum verstanden werden können

Man spricht in diesem Fall auch von Vierer-Tensoren und Vierer-Vektoren

Mit Hilfe der Komponenten kann ein Tensor bezüglich einer Basis dargestellt werden

Zum Beispiel kann ein Tensor T {\displaystyle T} auf Rang 2 in einem gegebenen Basissystem B {\displaystyle {\mathcal {B}}} wie folgt als Matrix dargestellt werden:

T

= B

( T

11 T

12 ⋯ T

1 n T

21 T

22 ⋯ T

2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ T

n 1 T

n 2 ⋯ T

nn ) {\displaystyle T=_{\mathcal {B}}{\begin {pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}}

Damit lässt sich der Wert T ( v , w ) {\displaystyle T(v,w)} im Rahmen des entsprechenden Basissystems mittels Matrixmultiplikation berechnen:

T ( v , w ) = ( v 1 v 2 ⋯ vn ) ⋅ ( T 11 T 12 ⋯ T 1 n T 21 T 22 ⋯ T 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ T n 1 T n 2 ⋯ T nn ) ⋅ ( w 1 w 2 ⋮ wn ) {\displaystyle T(v,w)={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix }T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{ n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{ pmatrix}}}

See also  Best spanien steuersatz New Update

Betrachtet man nun speziell den Trägheitstensor I {\displaystyle I} , so ergibt sich die Rotationsenergie E rot {\displaystyle E_{\mathrm {rot} }} eines starren Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit ω → {\displaystyle {\ vec {\ omega }}} kann wie folgt berechnet werden:

E rot = 1 2 ω → TI ω → = 1 2 ω α ich β α ω β = 1 2 ( ω 1 ω 2 ω 3 ) ⋅ ( ich 11 ich 12 ich 13 ich 21 ich 22 ich 23 ich 31 ich 32 ich 33 ) ⋅ ( ω 1 ω 2 ω 3 ) {\displaystyle E_{\mathrm {red} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}I{\vec { \omega }}={\frac {1}{2}}\omega _{\alpha }I_{\beta }^{\alpha }\omega ^{\beta }={\frac {1}{2}} {\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{ 13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\omega _{1} \\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}}

Operationen auf Tensoren [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Neben dem Tensorprodukt gibt es noch weitere wichtige Operationen für (r,s)-Tensoren

Inneres Produkt [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Das innere Produkt eines Vektors v ∈ E {\displaystyle v\in E} (oder eines (Co-)Vektors β ∈ E ∗ {\displaystyle \beta \in E^{*}} ) mit einem Tensor t ∈ T sr ( E ; K ) {\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E;K)} ist die ( r , s − 1 ) {\displaystyle (r,s-1)} (oder ( r − 1 , s ) {\displaystyle (r-1,s)} ) Tensor, der definiert ist durch

( ivt ) ( β 1 , … , β r , ⋅ , v 1 , … , vs − 1 ) = t ( β 1 , … , β r , v , v 1 , … , vs − 1 ) {\displaystyle (i_ {v}t)\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},\cdot ,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)=t\left( \beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},v,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)}

oder durch

( ich β t ) ( ⋅ , β 1 , … , β r − 1 , v 1 , … , vs ) = t ( β , β 1 , … , β r − 1 , v 1 , … , vs ) {\displaystyle (i^{\beta}t)\left(\cdot,\beta ^{1},\dotsc,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc,v_{s}\right)= t\left(\beta ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)}

ist definiert

Das bedeutet, dass der ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} Tensor t {\displaystyle t} bei einem festen Vektor v {\displaystyle v} oder festen Kovektor β {\displaystyle \beta }.

→ ausgewertet wird Hauptartikel: Tensorverjüngung

Gegeben ist ein (r,s)-Tensor sowie 1 ≤ k ≤ r {\displaystyle 1\leq k\leq r} und 1 ≤ l ≤ s {\displaystyle 1\leq l\leq s}

C l k {\displaystyle C_{l}^{k}} bildet die Tensorverjüngung den Tensor

∑ β ich 1 ⊗ ⋯ ⊗ β ik ⊗ ⋯ ⊗ β ir ⊗ vj 1 ⊗ ⋯ ⊗ vjl ⊗ ⋯ ⊗ vjs {\displaystyle \sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_ {k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v ^{j_{s}}}

auf dem Tensor

C lk ( ∑ β ich 1 ⊗ ⋯ ⊗ β ik ⊗ ⋯ ⊗ β ir ⊗ vj 1 ⊗ ⋯ ⊗ vjl ⊗ ⋯ ⊗ vjs ) = ∑ β ik ( vjl ) ⋅ ( β ich 1 ⊗ β ⋯ ⊗ ik 1 1

β ik − ik + 1 ⊗ ⋯ ⊗ β ir ⊗ vj 1 ⊗ ⋯ ⊗ vjl − 1 ⊗ vjl + 1 ⊗ ⋯ ⊗ vjs ) {\displaystyle {\begin{aligned}&C_{l}^{k}\left (\sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1 }}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}\right)\\=&\sum \beta _{i_{k}}(v ^{j_{l}})\cdot (\beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k-1}}\otimes \beta _{i_{k+1}} \otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+)

1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}})\end{aligned}}}

Weg

Dieser Vorgang wird als Tensor-Tapering oder Spurbildung bezeichnet

Im Fall von (1,1)-Tensoren ist die Tensorverjüngung C 1 1 : V ∗ ⊗ V → K {\displaystyle C_{1}^{1}\colon V^{*}\otimes V\to K}

V ∗ ⊗ V ≅ E n d ( V ) {\displaystyle V^{*}\otimes V\cong \mathrm {End} (V)} die Spur eines Endomorphismus identifizieren.

Mit Hilfe der Einsteinschen Summationskonvention lässt sich die Tensorreduktion sehr kurz darstellen

Seien zum Beispiel die Koeffizienten (oder Koordinaten) des Tensors zweiter Ordnung T {\displaystyle T} in Bezug auf eine gewählte Basis T

i j {\displaystyle T_{i}^{j}}

Will man diesen (1,1)-Tensor reduzieren, schreibt man oft nur die Koeffizienten T ii {\displaystyle T_{i} statt C 1 1 ( T ) {\displaystyle C_{1}^{1}(T )} ^{i}}

Einsteins Summationskonvention besagt nun, dass alle gleichen Indizes summiert werden und somit ein Skalar ist, der mit der Spur des Endomorphismus übereinstimmt

Der Ausdruck B iji {\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{i}} hingegen ist nicht definiert, da gleiche Indizes nur aufsummiert werden, wenn man oben und eins steht ist ganz unten

Andererseits ist B i j j {\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{j}} ein Tensor erster Ordnung

→ Hauptartikel: Rücktransport

Sei eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, die kein Isomorphismus sein muss

Der Rücktransport von ϕ {\displaystyle \phi } ist eine Abbildung ϕ ∗ ∈ L ( T s 0 ( F ) , T s 0 ( E ) ) {\displaystyle \phi ^{*}\in L(T_{s} ^ {0}(F),T_{s}^{0}(E))} , was durch

ϕ ∗ t ( f 1 , … , fs ) = t ( ϕ ( f 1 ) , … , ϕ ( fs ) ) {\displaystyle \phi ^{*}t(f_{1},\dotsc ,f_{s} )=t(\phi(f_{1}),\dotsc ,\phi(f_{s}))}

ist definiert

Hier gilt t ∈ T s 0 ( F ) {\displaystyle t\in T_{s}^{0}(F)} und f 1 , … , fs ∈ E {\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{ s }\in E}.

→ Hauptartikel: Pushforward

Sei ϕ : E → F {\displaystyle \phi \colon E\to F} ein Vektorraum-Isomorphismus

Definiere den Push-Forward von ϕ {\displaystyle \phi } durch ϕ ∗ ∈ L ( T sr ( E ) , T sr ( F ) ) {\displaystyle \phi _{*}\in L(T_{s}^{ r}(E),T_{s}^{r}(F))} mit

ϕ ∗ t ( β 1 … , β r , f 1 , … , fs ) = t ( ϕ ∗ ( β 1 ) , … , ϕ ∗ ( β r ) , ϕ − 1 ( f 1 ) , … , ϕ − 1 ( fs ) )

{\displaystyle \phi _{*}t(\beta ^{1}\dotsc ,\beta ^{r},f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi ^{*}( \beta ^{1}),\dotsc ,\phi ^{*}(\beta ^{r}),\phi ^{-1}(f_{1}),\dotsc ,\phi ^{-1} (f_{s})).}

Hier t ∈ T sr ( E ) {\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)} , β 1 , … , β r ∈ F ∗ {\displaystyle \beta ^{1},\dotsc , \beta ^{r}\in F^{*}} und f 1 , … , fs ∈ F {\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in F}

Mit ϕ ∗ ( β i ) {\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i})} wird der Rücktransport der linearen Form β i {\displaystyle \beta ^{i}} notiert

Konkret bedeutet dies ϕ ∗ (β i (

)) = β i (ϕ (.))

{\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i}(.))=\beta ^{i}(\phi (.)).} Analog zum Rücktransport kann man den Isomorphismus von ϕ { \displaystyle \phi } und definiere diese Operation nur für ( r , 0 ) {\displaystyle (r,0)} -Tensoren

→ Hauptartikel: Tensoralgebra

Sei E {\displaystyle E} ein Vektorraum über einem Körper K {\displaystyle K}

Dann ist es fertig

T ( E ) = ⨁ n ≥ 0 E ⊗ n = K ⊕ E ⊕ ( E ⊗ E ) ⊕ ( E ⊗ E ⊗ E ) ⊕ ⋯ {\ displaystyle \ mathrm {T} (E) = \ bigoplus _ {n \ geq 0}E^{\otimes n}=K\oplus E\oplus (E\otimes E)\oplus (E\otimes E\otimes E)\oplus \dotsb }

die sogenannte Tensoralgebra

Mit der durch das Tensorprodukt gegebenen Multiplikation der homogenen Komponenten wird T ( E ) {\ displaystyle \ mathrm {T} (E)} zu einer einheitlichen assoziativen Algebra

→ Hauptartikel: Tensorprodukt

In diesem Abschnitt werden Tensorprodukträume definiert, die typischerweise in der Algebra berücksichtigt werden

Diese Definition ist allgemeiner als die von (r,s)-Tensoren, da hier die Tensorräume aus verschiedenen Vektorräumen konstruiert werden können

Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren [ edit | Quelle bearbeiten ]

Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts

Seien V {\displaystyle V} und W {\displaystyle W} Vektorräume über dem Körper K {\displaystyle K}

Seien X , Y {\displaystyle X,Y} weitere K {\displaystyle K} -Vektorräume, b : V × W → X {\displaystyle b\colon V\times W\to X} eine beliebige bilineare Abbildung und f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} eine lineare Abbildung ist, dann ist die Beziehung ( f ∘ b ) : V × W → Y {\displaystyle (f\circ b)\colon V\times W\ zu Y} eine bilineare Abbildung

Wenn also eine bilineare Abbildung gegeben ist, kann man daraus beliebig viele weitere bilineare Abbildungen konstruieren

Es stellt sich die Frage, ob es eine bilineare Abbildung gibt, aus der alle bilinearen Abbildungen auf diese Weise (eindeutig) konstruiert werden können, indem sie mit linearen Abbildungen verknüpft werden

Ein solches universelles Objekt, d

h

die bilineare Abbildung, einschließlich ihres Bildraums, wird als Tensorprodukt von V {\displaystyle V} und W {\displaystyle W} bezeichnet

Definition: Als Tensorprodukt der Vektorräume V {\displaystyle V} und W {\displaystyle W} bezeichnet jedes K { \displaystyle K} einen Vektorraum X {\displaystyle X}, für den es eine bilineare Abbildung ϕ gibt: V × W → X {\displaystyle \phi \colon V\times W\to X} das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jede bilineare Abbildung b : V × W → Y {\displaystyle b\colon V\times W\to Y} V × W {\displaystyle V\times W} Y {\displaystyle Y} b ′ : X → Y {\ displaystyle b’\colon X\to Y} ( v , w ) ∈ V × W {\displaystyle (v,w)\in V\times W} b ( v , w ) = b ′ ( ϕ ( v , w ) ) {\displaystyle b(v,w)=b'(\phi (v,w))}

Wenn es einen solchen Vektorraum X {\displaystyle X} gibt, dann ist er bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt

Wenn Y {\displaystyle Y} mit der bilinearen Form b {\displaystyle b} (als Tensorprodukt ⊗ {\displaystyle \otimes } ) bereits ein zweiter solcher Vektorraum X ′ {\displaystyle X’} ist, dann existiert in neben der eindeutig bestimmten linearen Abbildung b ′ {\displaystyle b’} mit der Eigenschaft b = b ′ ∘ ϕ {\displaystyle b=b’\circ \phi } gibt es noch eine eindeutige lineare Abbildung ϕ ′ : Y → X {\displaystyle \phi ‘\ Colon Y\to X} mit der Eigenschaft ϕ = ϕ ′ ∘ b {\displaystyle \phi =\phi ‘\circ b} , da ( b , Y ) {\displaystyle (b,Y) } hat auch die universelle Eigenschaft

Also sind sowohl ϕ {\displaystyle \phi } als auch b {\displaystyle b} Isomorphismen

Man schreibt X = V ⊗ W {\displaystyle X=V\otimes W} und ϕ ( v , w ) = v ⊗ w {\displaystyle \phi (v,w)=v\otimes w}

Die universelle Eigenschaft kann also geschrieben werden als b ( v , w ) = b ′ ( v ⊗ w ) {\displaystyle b(v,w)=b'(v\otimes w)}

Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf das Artikeltensorprodukt verwiesen

Die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts bejaht obige Frage und lässt sich wie folgt formulieren: Die Abbildung

L ( V ⊗ W ; Y ) ⟶ ∼ L 2 ( V , W ; Y ) b ‘ ⟼ b ‘ ∘ ϕ {\ displaystyle {\ begin {matrix} L (V \ otimes W; Y) & {\ Stackrel {\ sim }{\longrightarrow }}&L^{2}(V,W;Y)\\b’&\longmapsto &b’\circ \phi \end{matrix}}}

ist surjektiv (Existenzaussage) und injektiv (Eindeutigkeitsaussage), also bijektiv und damit ein Isomorphismus von Vektorräumen

Für den Fall Y = K {\displaystyle Y=K} wird der duale Raum des Tensorproduktraums als Raum bilinearer Formen interpretiert

Zusammen mit den bereits erwähnten Identifikationen ergibt sich: V ∗ ⊗ W ∗ ≅ ( V ⊗ W ) ∗ ≅ L ( V , W ; K ) ≅ L ( V ; W ∗ ) ≅ L ( W ; V ∗ ) {\ displaystyle V^{*}\otimes W^{ *}\cong (V\otimes W)^{*}\cong L(V,W;K)\cong L(V;W^{*})\cong L (W;V^{*})}

Tensor als Element des Tensorprodukts [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten

Sei K {\displaystyle K} ein Körper und seien V 1 , V 2 , … , V s {\displaystyle V_{1},V_{2},\dotsc ,V_ {s}} Vektorräume über dem Körper K { \displaystyle K}.

Das Tensorprodukt V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s {\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}} von V 1 , … , V s {\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s } } ist ein K {\displaystyle K} -Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form sind

v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v s , v ich ∈ V ich , {\ displaystyle v_ {1} \ otimes \ dotsb \ otimes v_ {s}, \ quad v_ {i} \ in V_ {i},}

sind

Für diese Symbole gelten folgende Rechenregeln: v 1 ⊗ ⋯ ⊗ ( vi ′ + vi ″ ) ⊗ ⋯ ⊗ vs = ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ vi ′ ⊗ ⋯ ⊗ vs ) + ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ vi ″ ⊗ ⋯ ⊗ vs ) {\displaystyle v_{1 }\otimes \dotsb \otimes (v_{i}’+v_{i}”)\otimes \dotsb \otimes v_{s}=(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}’\otimes \dotsb \otimes v_{s})+(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}”\otimes \dotsb \otimes v_{s})}

v 1 ⊗ ⋯ ⊗ ( λ vi ) ⊗ ⋯ ⊗ vs = λ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ vi ⊗ ⋯ ⊗ vs ) , λ ∈ K {\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes (\lambda v_{i })\otimes \dotsb \otimes v_{s}=\lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}\otimes \dotsb \otimes v_{s}),\quad \lambda \in K}

Die Tensoren der Form v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v s {\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}} heißen elementar

Jeder Tensor lässt sich als Summe elementarer Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist nicht eindeutig, außer in trivialen Fällen, wie aus der ersten der beiden Rechenregeln ersichtlich ist

Wenn { ei ( 1 ) , … , ei ( di ) } {\displaystyle \{e_{i}^{(1)},\dotsc ,e_{i}^{(d_{i})}\}} a Basis von V

ich {\displaystyle V_{i}} (für i = 1 , … , s {\displaystyle i=1,\dotsc ,s} ; di = dim ⁡ V

ich {\displaystyle d_{i}=\dim V_{i}} ), dann

{ e 1 ( j 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ es ( js ) ∣ 1 ≤ i ≤ s , 1 ≤ ji ≤ di } {\ displaystyle \ {e_ {1} ^ {(j_ {1})} \ otimes \ dotsb \ otimes e_{s}^{(j_{s})}\mid 1\leq i\leq s,1\leq j_{i}\leq d_{i}\}}

eine Basis von V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s

{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}.} Also ist die Dimension von V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s {\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}} dies Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume V 1 , … , V s

{\displaystyle V_{1},\dotsc,V_{s}.}

Erweiterung auf mehrere Faktoren: Universelle Eigenschaft für mehrere Tensorprodukte und multilineare Formen [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die bisherigen Überlegungen zur universellen Eigenschaft lassen sich wie folgt auf mehrere Faktoren erweitern

Der duale Raum von V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s {\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}} kann (nach der universellen Eigenschaft ) mit dem Raum L ( V 1 , … , V s ; K ) {\displaystyle L(V_{1},\dotsc ,V_{s};K)} von s {\displaystyle s} -multilinearen Formen:

Wenn λ : V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s → K {\displaystyle \lambda \colon V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}\to K} Linearform auf V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s , {\ displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s},} ( v 1 , … , vs ) ↦ λ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ vs ) {\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s } )\mapsto \lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})} s {\displaystyle s} multilineare Form

Es stellt sich die Frage, ob jedes s {\displaystyle s} die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt:

Umgekehrt, wenn μ : V 1 × ⋯ × V s → K {\displaystyle \mu \colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to K} s {\displaystyle s} μ ′ ∈ L ( V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s; K ) {\displaystyle \mu ‘\in L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};K)} V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s {\displaystyle V_{ 1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}} μ ′ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ vs ) = μ ( v 1 , … , vs )

{\displaystyle \mu ‘(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s}).}

Wie oben (im Abschnitt über die Universaleigenschaft) für den Fall zweier Vektorräume formuliert, gilt die Universaleigenschaft auch für mehrere Faktoren (bis auf Isomorphie)

Und das lässt sich so formulieren und beinhaltet zugleich die Aussage der beiden Spiegelpunkte oben:

Definition: Seien V 1 , … , V s {\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}} und X {\displaystyle X} und Y {\displaystyle Y} Vektorräume über dem Körper K {\displaystyle K}

Dann wird die multilineare Abbildung t : V 1 × ⋯ × V s → X {\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X} das Tensorprodukt der Vektorräume V i genannt {\displaystyle V_ {i}} über K {\displaystyle K} , wenn es die folgende Eigenschaft hat: Für jede multilineare Abbildung μ ∈ L ( V 1 , … , V s ; Y ) {\displaystyle \mu \in L( V_{1},\dotsc,V_{s};Y)} gibt es eine eindeutige lineare Abbildung μ ′ ∈ L ( X ; Y ) {\displaystyle \mu ‘\in L(X;Y)} mit der Eigenschaft μ ‘ ( t ( v 1 , … , vs ) ) = μ ( v 1 , … , vs ) {\displaystyle \mu ‘(t(v_{1},\dotsc ,v_{s}))=\mu (v_ {1}, \dotsc ,v_{s})} für alle Tupel ( v 1 , … , vs ) ∈ V 1 × ⋯ × V s

{\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\in V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.} Man schreibt dann: t ( v 1 , … , vs ) = v 1 ⊗ … ⊗ vs und X = V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s {\displaystyle t(v_{1},\dotsc ,v_{s})=v_{1}\otimes \dotsc \otimes v_{s}\qquad {\text{ und }}\qquad X=V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}} Wenn es einen solchen Vektorraum X {\displaystyle X} mit einer solchen multilinearen Abbildung t {\displaystyle t} , dann ist der Vektorraum aufgrund dieser universellen Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt

Daher wird oft nur vom Vektorraum X {\displaystyle X} gesprochen, obwohl genau genommen die dazugehörige multilineare Abbildung t : V 1 × ⋯ × V s → X {\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \ mal V_{s}\to X} ist Teil des Tensorprodukts

Tatsächlich gilt für die Kategorie der Vektorräume (genauer: in der Kategorie der multilinearen Abbildungen) ψ : V 1 × ⋯ × V s → [ ? ? ] {\displaystyle \psi :V_{1}\times \dotsb \times V_ {s}\to [??]} auf gegebenen Vektorräumen V i {\displaystyle V_{i}} in einen beliebigen Vektorraum) ein solches Tensorprodukt konstruieren

Sie ist durch die universelle Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig gekennzeichnet

Wenn also X = V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s {\displaystyle X=V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}} ist, dass (eindeutig bis auf Isomorphie spezifisches) Tensorprodukt der Vektorräume V 1 , … , V s {\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}, dann begründet die universelle Eigenschaft einen Isomorphismus von Vektorräumen (Anmerkung: der Raum linearer Abbildungen und der Raum der multilinearen Abbildungen sind auf natürliche Weise Vektorräume)

L ( V 1 , … , V s ; Y ) ⟶ ∼ L ( X , Y ) = L ( V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s ; Y ) λ ⟼ λ ′ definiert durch Fixierung auf die elementaren Tensoren λ ′ ∘ t ( v 1 , … , vs ) = λ ′ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ vs ) := λ ( v 1 , … , vs ) und K -lineare Erweiterung auf den gesamten (Tensor-)Raum X

{\displaystyle {\begin{matrix}L(V_{1},\dotsc ,V_{s};Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(X,Y)=L(V_{ 1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};Y)\\\lambda &\longmapsto &\lambda ‘{\text{ definiert durch Definition der elementaren Tensoren}}\\&&\lambda ‘\circ t(v_ { 1},\dotsc,v_{s})=\lambda'(v_{1}\otimes\dotsb\otimes v_{s}):=\lambda(v_{1},\dotsc,v_{s})\ \&&{\text{ und }}K{\text{-lineare Fortsetzung zum gesamten (Tensor-)Raum }}X.\end{matrix}}}

Die Surjektivität dieser Abbildung ist äquivalent zur Existenzaussage (“für jede multilineare Abbildung gibt es”, vgl

zweiter Aufzählungspunkt), die Injektivität dagegen zur Eindeutigkeitsaussage (“eine eindeutig bestimmte”)

Da die gegebene Abbildung eine lineare Abbildung ist (Homomorphismus von Vektorräumen), ist sie ein Isomorphismus von Vektorräumen

Wenn alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional sind, dann sind für den Fall Y = K {\displaystyle Y=K} die beiden Vektorräume

L ( V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s ; K ) =: ( V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s ) ∗ und V 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V s ∗ {\ displaystyle L (V_ {1} \ otimes \dotsb \otimes V_ {s};K)=:(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s})^{*}\quad \mathrm {and} \quad V_{1}^{*}\otimes \dotsb \ omal V_{s}^{*}}

sich auf natürliche Weise miteinander identifizieren, d

Das heißt, Elemente von V 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V s ∗ {\displaystyle V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}} entsprechen s {\displaystyle s} -multilinear bildet V 1 × ⋯ × V s

{\displaystyle V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}

Invarianten von Tensoren 1

und 2

Ordnung [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Skalare, die sich unter orthogonalen Koordinatentransformationen des Tensors nicht ändern, werden als Invarianten eines ein- oder zweistufigen Tensors bezeichnet

Bei Tensoren erster Ordnung führt die durch das Skalarprodukt induzierte Normbildung zu einer Invariante

ich 1 = x j x j = x ‘j x j ‘ {\displaystyle I_{1}=x^{j}x_{j}=x’^{j}x’_{j}}

Hier und im Folgenden wird wieder Einsteins Summationskonvention verwendet

Im Allgemeinen können für Tensoren zweiter Ordnung im dreidimensionalen euklidischen Raum sechs irreduzible Invarianten (d

h

Invarianten, die nicht durch andere Invarianten ausgedrückt werden können) gefunden werden: I 1 = A ii = S pur ( A ) , I 2 = A ij A ji = S pur ( A 2 ) , I 3 = A ij A ij = S pur ( AAT ) , I 4 = A ij A jk A ki = Spur ( A 3 ) , I 5 = A ij A jk A ik = Spur ( A 2 AT ) , I 6 = A ij A jk A lk A il = Spur ( A 2 ( A 2 ) T ) { \displaystyle { \begin{alignedat}{2}I_{1}&=A_{ii}&&=\mathrm {Spur} \left(A\right)\;,\\I_{2}&=A_{ij} A_{ji }&&=\mathrm{trace} \left(A^{2}\right)\;,\\I_{3}&=A_{ij}A_{ij}&&=\mathrm{trace} \left(AA^ {T}\right)\;,\\I_{4}&=A_{ij}A_{jk}A_{ki}&&=\mathrm {trace} \left(A^{3}\right) \;, \\I_{5}&=A_{ij}A_{jk}A_{ik}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}A^{T}\right)\;,\ \I_{ 6}&=A_{ij}A_{jk}A_{lk}A_{il}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\left(A^{2}\right)^ {T} \right)\end{alignedat}}}

Bei symmetrischen Tensoren zweiter Ordnung (z

B

dem Dehnungstensor) sind die Invarianten I 2 = I 3 {\displaystyle I_{2}=I_{3}} und I 4 = I 5 {\displaystyle I_{4} = Ich_{5}} zusammen

Außerdem kann I 6 {\displaystyle I_{6}} über die anderen 3 Invarianten dargestellt werden (es ist also nicht mehr irreduzibel)

Auch die Determinante ist eine Invariante, sie lässt sich beispielsweise für 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} -Matrizen über die irreduziblen Invarianten I 1 {\displaystyle I_{1}} , I 2 {\displaystyle I_{2 }} und I 4 {\displaystyle I_{4}} darstellen als[5]

D e t ( EIN ) = 1 6 ich 1 3 – – 1 2 ich 1 ich 2 + 1 3 ich 4

{\displaystyle \mathrm {Det} (A)={\frac {1}{6}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}I_{1}I_{2}+ {\frac {1}{3}}I_{4}.}

Für antisymmetrische Tensoren gilt I 1 = 0 {\displaystyle I_{1}=0} , I 2 = − I 3 {\displaystyle I_{2}=-I_{3}} , I 4 = − I 5 = 0 { \ displaystyle I_{4}=-I_{5}=0} und I 6 {\displaystyle I_{6}} lassen sich auf I 2 {\displaystyle I_{2}} zurückführen.[6] Somit haben im dreidimensionalen euklidischen Raum symmetrische Tensoren zweiter Ordnung drei irreduzible Invarianten und antisymmetrische Tensoren zweiter Ordnung eine irreduzible Invariante

Siehe auch: Hauptinvariante

Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Man kann das Tensorprodukt T 2 V := V ⊗ V {\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}V:=V\otimes V} eines Vektorraums V {\displaystyle V} mit sich selbst bilden

Ohne weitere Kenntnisse über den Vektorraum lässt sich ein Automorphismus des Tensorprodukts definieren, der darin besteht, die Faktoren in den reinen Produkten a ⊗ b {\displaystyle a\otimes b}: zu vertauschen

Π 12 ( a ⊗ b ) := b ⊗ a {\displaystyle \Pi _{12}(a\otimes b):=b\otimes a}

Da das Quadrat dieser Abbildung die Identität ist, sind für die Eigenwerte nur die Werte ± 1 {\displaystyle \pm 1} möglich

EIN w ∈ V ⊗ V {\displaystyle w\in V\otimes V} Π 12 ( w ) := w {\displaystyle \Pi _{12}(w):=w} symmetrisch

Beispiele sind die Elemente

w = a ⊙ b := 1 2 ( a ⊗ b + b ⊗ a ) {\displaystyle w=a\odot b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b+b\otimes a) } Die Menge aller symmetrischen Tensoren vom Rang 2 ist gegeben durch S 2 V = ( 1 + Π 12 ) ( V ⊗ V ) {\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}V=(1+\Pi _{ 12 })(V\otimes V)}

A w ∈ V ⊗ V {\displaystyle w\in V\otimes V} Π 12 ( w ) := − w {\displaystyle \Pi _{12}(w):=-w} antisymmetrisch oder alternierend

Beispiele sind die Elemente

w = a ∧ b := 1 2 ( a ⊗ b − b ⊗ a ) {\displaystyle w=a\wedge b:={\frac {1}{2}}(a\otimes bb\otimes a)} Die Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 ist gegeben durch Λ 2 V := ( 1 − Π 12 ) ( V ⊗ V ) {\displaystyle \Lambda ^{2}V:=(1-\Pi _{12}) (V\ otimes V)}

Mittels T n + 1 V := V ⊗ T n V {\displaystyle {\mathcal {T}}^{n+1}V:=V\otimes {\mathcal {T}}^{n}V} Tensorkräfte können durch V {\ displaystyle V} jeder Ebene gebildet werden

Entsprechend können weitere paarweise Permutationen definiert werden

Diese sind aber nicht mehr unabhängig voneinander

Somit kann jede Permutation der Stellen j {\displaystyle j} und k {\displaystyle k} auf Permutationen mit der ersten Stelle: zurückgeführt werden

Π j k = Π 1 j ∘ Π 1 k ∘ Π 1 j {\displaystyle \Pi _{jk}=\Pi _{1j}\circ \Pi _{1k}\circ \Pi _{1j}}

Injektives und projektives Tensorprodukt [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Wenn die Vektorräume, die Sie miteinander tensorieren möchten, eine Topologie haben, dann ist es wünschenswert, dass ihr Tensorprodukt auch eine Topologie hat

Es gibt natürlich viele Möglichkeiten, eine solche Topologie zu definieren

Dafür bieten sich jedoch das Injektiv oder das projektive Tensorprodukt an

→ Hauptartikel: Tensoranalyse

Ursprünglich wurde die Tensorrechnung nicht in dem hier vorgestellten modernen algebraischen Konzept untersucht, sondern entstand aus Überlegungen der Differentialgeometrie

Insbesondere Gregorio Ricci-Curbastro und sein Schüler Tullio Levi-Civita haben es entwickelt

Der Tensorkalkül wird daher auch als Ricci-Kalkül bezeichnet

Albert Einstein griff die Infinitesimalrechnung in seiner Relativitätstheorie auf, wodurch sie in der Fachwelt bekannt wurde

Die Tensoren von damals werden heute als Tensorfelder bezeichnet und spielen noch heute eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie

Im Gegensatz zu Tensoren sind Tensorfelder differenzierbare Abbildungen, die jedem Punkt im zugrunde liegenden (oft gekrümmten) Raum einen Tensor zuordnen

Siehe auch [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Metrik – Parallel (ft. Grafix) New

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 New  Metrik - Parallel (ft. Grafix)
Metrik – Parallel (ft. Grafix) Update

Eminem | Discografía | Mediafire | 1996-2020 ~ Producto … Update New

14/08/2018 · Eminem – The Marshall Mathers LP (2000) 01. Public Service Announcement 2000 02. Kill You 03. Stan [Featuring Dido] 04. Paul [Skit] 05. Who Knew 06.

+ hier mehr lesen

Read more

Eminem – Unendlich (1996)

01

Unendlich

02

W.E.G.O

(Zwischenspiel) (feat

Proof & DJ Head)

03

Es ist OK (feat

Eye-Kyu)

04

Tonite

05

313 (feat

Eye-Kyu)

06

Maxine (feat

3 & Denaun Porter)

07

Open Mic (feat

Thyme)

08

Niemals 2 weit

09

Searchin (feat

Denaun Porter)

10

Backstabber (feat

Denaun Porter)

11 Jealousy Woes II 12 Rare Studio Track 1 13 Rare Studio Track 2 14 Rare Studio Track 3 15 Rare Studio Track 4 16 Rare Studio Track 5 17 Rare Studio Track 6 18 Rare Studio Track 7

19

Rare Studio Track 8

20

Rare Studio Track 9

21

Radio Freestyle 1

22

Radio Freestyle 2

23

Radio Freestyle 3

Eminem – Slim Shady EP (1997)

01

Intro (Slim Shady) (Sketch)

02

Low Down Dirty

03

Wenn ich. ..

04

Gib einfach keinen Fick

05

Mama (Sketch)

06

Nur wir zwei

07

Niemand ist krank (feat

Swift, Bizarre Kid & Fuzz)

08

Mord, Mord

09

Wenn ich. .

(Radio Edit) hätte

10

Geben Sie einfach kein #[email protected]! (Radiobearbeitung)

Eminem & D12 – Live im Da Phat House in Detroit (1997)

01

Low Down Dirty

02

Gib einfach keinen Fick

03

Niemand ist krank

Eminem – Lebe in Myrtle Beach (1999)

01

Einführung

02

Hirnschaden

03

Heben Sie es auf

04

Nuthin’ But A G Thang

05

Gib einfach keinen Fick

06

Auf welchen Drogen stehst du? 07

Vorbildfunktion

08

Ihr Jungs mögt Drogen

09

Meine Schuld

10

Immer noch scheißegal

11

Don’t Give A Fuck (Record Skip)

12

Aufnahme überspringen (Zwischenspiel)

13

Wie ist mein Name

14

Mein Name ist

15

Wie sich die Welt dreht

16

Irgendein Mann

Eminem – The Slim Shady LP (1999)

01 – Public Service Announcement (feat

Jeff Bass)

02 – Mein Name ist

03 – Schuldiges Gewissen (feat

Dr

Dre)

04 – Hirnschaden

05 – Paulus

06 – Wenn ich hätte

07 – ’97 Bonnie & Clyde

08 – Hündin

09 – Vorbildfunktion

10 – Aufenthaltsraum

11 – Meine Schuld

12 – Ken Kaniff

13 – Komm auf alle

14 – Tiefpunkt

15 – Gib einfach keinen Fick

16 – Seife

17 – Wie sich die Welt dreht

18 – Ich bin schattig

19 – Bad Meets Evil (feat

Royce Da 5’9″)

20 – Still Don’t Give A Fuck

Eminem – The Marshall Mathers LP (2000)

See also  Best cafe namen deutsch New Update

Eminem Feat

dr Dre – Live In London (2000)

01

California Love 02

Kill You 03

Brain Damage 04

Nuthin’ But AG Thang 05

Dre vergessen 06

Was ist der Unterschied 07

The Watcher 08

Immer noch DRE 09

Wenn ich nachgeschlagen werde Heute Abend

10

Vorbild

11

Einfach scheißegal

12

Der echte Slim Shady

13

Immer noch scheißegal

14

Mein Name ist

15

Schuldiges Gewissen

Eminem-Fucking Crazy ( 2000)

01

Fucking Crazy

02

Forgot About Dre

03

Green And Gold

04

The Showdown

05

Nuttin’ To Do

06

Watch Dees

07

3 Strophen

08

Get U Mad

09

Fuck Off

10

Hustler’s Hardcore

11

The Anthem

12

Bus A Rhyme

13

Flyest-Material

14

My Name (Kid Rock)

15

5 Star General

Eminem – Losing It (Bootleg) (2000)

01

3 Strophen 02

Get You Mad

03

Murder, Murder

04

Any Man

05

Where My Wordz At (unveröffentlicht)

06

Nuttin’ To Do

07

My Motherfuckin’ Name Is (Cable Guy Remix )

08

Niemand ist krank (unveröffentlicht

09

Biggie Smalls & Eminem Freestyle

10

Forgot About Dre

11

My Name Is

12

Rhymin’ Words

13

Guilty Conscience

14

KRS-1 & Slim Shady Freestyle

15 16

Role Model 17

Murder, Murder (Unreleased Version) 18

Bitch So Wrong 19

Scary Movie (Outro) Eminem – MTV Music History (2000) 01

Ken Kaniff 02

The Real Slim Shady 03

Paul (Skit) 04

Rock Bottom 05

Oops! I Did It Again 06

The Way I Am 07

My Name Is 08

Kill You 09

Guilty Conscience 10

Kim 11

Stan (feat

Dido) 12

97′ Bonnie & Clyde 13 Ken Kaniff (Skit) 14

Under The Influence (feat

D-12) 15

Marshall Mathers 16

Role Model 17 B**** Please II (feat

Dr.Dre, Snoop Dogg, Xzibit & Nate Dogg) 18 Bad Meets Evil 19 Don’t Give A Fuck Eminem – Psycho (Bootleg) (2000) 01 Maximum Pressure (Intro) 02 Low Down Dirty 03 Old World Disorder 04 Hast du Angst (Freestyle) 05 (Freestyle) 06 Wenn ich eingesperrt werde Up Tonight 07 Pay Me (Crazy with a razor) 08

Phone Tap (Freestyle) 09

Rhymes You Never He ard Vorher

10

Unser Haus

11

Mein Name ist (’00 Remix)

12

Mein Name ist | 313-Remix)

13

Freistil (Cage Diss)

14

Einfach nur reimen

15

Es ist Murda (Cable Guy Remix)

16

Nie zu weit

17

Lass mich los

18

Tot falsch (Remix)

19

Abgeholt (Live)

20

Rush Ya Clique

Eminem – Die Freestyle-Jahre (2000)

01

Freistil (Off The Dome Show)

02

Radio Kür 1

03

Radio Kür 2

04

Radio Freestyle 3

05

Gib einfach keinen Fick-Remix

06 Seltener Freestyle 1 07 Seltener Freestyle 2 08 Seltener Freestyle 3 09 Rhymin Wordz

10

Immer noch Nummer 1 Feat

KRS Eins

11

Royce-Freistil

12

Wir sehen uns in der Hölle feat

Betrug 13

Throwin Words

Eminem – Freestyles 2 (2001)

01

Erste Worte

02

Live Battle (Boston) (feat

Royce da 5’9”)

03

3 Verse

04

Dissin Brandy und Mase

05

Rap-Olympiade

06

Noch Nummer 1

07

Bling Bling (Remix)

08

Hast du Angst? 09

Commin Out Swingin (Remix) (Jay-Z und Mobb Deep)

10

Freestyle Vs The Notorious B.I.G

11

Es roh halten

12

Waffe in deinem Grill

13

Farmclub (Live)

14

Choakin dieses Schwein

15

Ich bin Eminem

16.Stretch Armstrong

17

Erneuerung des Da-Stabs

18.Stretch Armstrong (Remix)

19

Freestyle gegen Method Man

20

Gun In Your Grill (Remix)

21

Bad Meets Evil (Feat

Royce da 5’9”)

22

So krank (feat

Benefit)

23

Watch Dees (feat

Thristen Howel)

24

Freier Stil

25

Rhymin With Proof (feat

Proof of D12)

Eminem – Roh und ungeschnitten (The Radio Sessions) (2001)

01

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:07

02

Roher und ungeschnittener Freestyle | 3:59

03

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:08

04

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:18

05

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:50

06

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:13

07

Roher und ungeschnittener Freestyle | 4:49

08

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:54

09

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:41

10

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:09

11

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:45

12

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:19

13

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:50

14

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:19

15

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:35

16

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:44

17

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:42

18

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:56

19

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:41

20

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:51

21

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:00

22

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:04

23

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:41

24

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:19

25

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:38

26

Roher und ungeschnittener Freestyle | 1:32

27

Roher und ungeschnittener Freestyle | 0:57

28

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen | 3:42

29

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen | 0:47

30

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen | 4:11

31

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen | 4:39

32

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen | 3:53

33

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen | 4:44

34

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen | 4:30

35

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen | 5:00 Uhr 36

Track mit Proof Outsidez und Dirty Dozen

Eminem – Lebe in Kalifornien (2001)

01

Ich bin zurück | 3:52

02

Töte dich | 3:01

03

Unter dem Einfluss | 3:54

04

Scheiße auf dich | 4:37

05

Wenn ich heute Nacht eingesperrt werde | 1:55

06

Stan | 5:23

07

Vorbildfunktion | 2:11

08

Marshall Mathers | 4:49

09

Verbrecher | 2:31

10

Hirnschaden | 4:08

11

Gib einfach keinen Fick | 1:28

12

Dre vergessen | 4:44

13

Hündin bitte II | 5:00 Uhr 14

Drogenballade | 3:02

15

Sperma auf alle | 3:57

16

So wie ich bin | 5:49

17

Der echte Slim Shady |

Eminem – Live in Grand Rapids (2001)

01

Einführung | 1:01

02

Hirnschaden | 3:25

03

Nuthin’ But A G Thang | 1:14

04

Gib einfach keinen Fick | 3:44

05

Zwischenspiel | 0:52

06

Vorbildfunktion | 3:05

07

Gruselfilme | 3:02

08

Wie ist mein Name | 1:00

09

Mein Name ist | 3:46

10

Abschluss | 0:44

Eminem – Unveröffentlichte Sammlung (Bootleg) (2001)

01

Verpiss dich | 4:03

02

Wenn ich heute Nacht eingesperrt werde | 3:41

03

Gruselfilme | 3:35

04

Rühren Sie verrückt | 3:10

05

Der Showdown | 4:37

06

Tot falsch | 4:56

07

Dees ansehen | 3:36

08

Kinder (Drogen sind schlecht) | 5:04

10

Helbound (Remix) | 3:58

10

Stricher und Hardcore | 3:09

11

Die Hymne | 4:31

12

Mach mich locker | 5:08

13

3 Verse | 3:08

14

Fick dich (Lab Rat Remix) | 2:49

15

Mach dich verrückt | 4:22

16

Schläger Luv (Remix) | 4:02

17

Was zu tun ist | 4:08

18

Rush Ya Clique | 4:29

19

Öffnen Sie das Mikrofon | 4:03

20

Hinterhältiger | 3:24

Eminem – LIVE und beschissen (2002)

01

Töte dich | 2:12

02

Tot falsch | 1:42

03

Was ist der Unterschied | 4:06

04

Dre vergessen | 3:40

05

Nuttin’ But A G Thang | 1:51

06

Wie ist mein Name | 1:03

07

Wenn ich heute Nacht eingesperrt werde | 4:17

08

Marshall Mathers | 3:55

09

Scheiße auf dich | 4:26

10

Unter dem Einfluss | 2:02

11

Strafrecht | 2:30

12

Mein Name ist | 1:29

13

Schuldiges Gewissen | 0:53

14

Jeder Mann | 3:32

15

Es ist mir einfach scheißegal | 3:44

16

Tearin’ Up My Ass (NSync-Parodie) | 1:41

17

So wie ich bin | 2:07

18

Der echte Slim Shady | 5:02

19

Stan (mit Elton John) |

Eminem – Die Eminem-Show (2002)

01

Vorhang auf (Sketch)

02

Weißes Amerika

03.Geschäft

04

Cleanin Out My Closet

05

Squaredance

06

Der Kuss (Sketch)

07

Soldat

08

Verabschieden Sie sich von Hollywood

09

Tropfen (feat

Obie Trice)

10

Ohne mich

11

Paul Rosenberg (Sketch)

12

Sing für den Moment

13

Superman (feat

Dina Rae)

14

Hailies Lied

15.Steve Berman (Sketch)

16

Wenn die Musik aufhört (feat

D12)

17

Sag, was du sagst (feat

Dr

Dre)

18

Bis ich zusammenbreche (feat

Nate Dogg)

19

My Dad’s Gone Crazy (feat

Hailie Jade)

20.Vorhänge schließen (Sketch)

Eminem – 8 Mile: The Battles (2003)

01

Papa Doc gegen Shorty

02

Lil Tic gegen Eminem

03

Eminem gegen Lil Tim

04

Eminem-Busfahrt

05

Leben in einem Wohnwagen

06

Garagen-Solo

07

Autoskizze

08

Vanessa vs

Xzibit

09

Xzibit gegen Vanessa

10

Eminem vs

Xzibit

11

LC gegen Eminem

12

Eminem gegen LC

13

Lotto gegen Eminem

14

Eminem gegen Lotto

15

Eminem gegen Papa Doc

16

Eminem verliere dich

Eminem-Demos (2003)

01

Komm auf alle (Original-Demo-Version)

02

Rock Bottom (Original-Demoversion)

03

Böse trifft auf Böses (Original-Demoversion)

04

Ich bin Shady (Original-Demoversion)

05

Mord, Mord (Original-Demoversion)

06

Renegades (Original-Demoversion)

DJ Green Lantern & Eminem – Invasion Shady

Aufzeichnungen Mixtape (2003)

01

Invasions-Einführung | 2:05

02

Invasion | 2:29

03

Benzino – Kür | 0:27

04

Die Soße | 3:34

05

Benzino – Zieh deinen Rock hoch | 3:29

06

Nagel im Sarg | 4:48

07

Obie Trice – Willkommen in Detroit City | 3:31

08

50 Cent & G-Einheit – 8 weitere Meilen | 3:43

09

Mobb Deep – Überleben der Stärksten 2003 | 2:18

10

Flipmode – Freistil | 3:27

11

Obie Trice – Du wurdest erschlagen | 3:01

12

50 Cent & Brooklyn – Die Haube | 2:30

13

Obie Trice – Kür | 1:17

14

D12 & 50 Cent – Rap-Spiel | 5:00 Uhr 15

50 Cent & G Unit – Freestyle | 2:40

16

Golden State Project – Freistil | 2:42

17

Joe Beast & The Game – Freistil | 3:53

18

Beweis – Kür | 2:41

19

F.T

– Freistil | 1:12

20

Verliere dich selbst (Green Lantern Remix) | 3:52

21

Gangstarr – Freistil | 1:31

22

Jay Z, Dr

Dre & Rakim – The Watcher (Teil 2 | 4:29

23

Kuniva – Freestyle | 2:01

24

50 Cent & G Unit – Freestyle | 3:08

25

HOM – Freestyle 1:51 26 Young Zee – Freestyle 2:44 27 Cardinal Offishial – Freestyle 1:33 28 2Pac & Nas – Thug Mansion (Green Lantern RMX) Eminem – Direkt aus dem Labor (2003) A1 Affe Siehe Affe Do A2 We Are Americans A3 I Love You More A4 Can I Bitch 2003 B1 Bully 2003 B2 Komm schon 2003 B3 Edoe Rae Me 2003 Eminem – The Marshall Mathers Battle Rhymes EP (2003) 01 Nail In The Coffin (Benzino Diss 2) 02 Shady Day 03 Our House (feat

Limp Bizkit) 04 Shadys No 1 05 Invasion (Benzino Diss 1) 06 Kids (Just Say No) 07 Bad Guys Always Die (feat

Dr Dre) 08 Off Tha Top 09 My Man (Hitek Remix ) 10 Retard Eminem – E (2004) 01 My Name (Feat

Xzibit & Nate Dogg) 02

Bad Influence 03

Girls 04

If I Get Locked Up (Feat

Dr

Dre) 05

Rabbit Run 06

Off The Wall (feat

Redman) 07 8 Mile 08 Lose Yourself 09 Stimulate 10 the sauce 11

The Kids 12

Murder 13

Go T o Schlaf (feat

Obie Trice & DMX)

14

Nagel im Sarg

15

911 (Feat

B-Real & Ganxsta Ridd)

16

Outro (feat

D-12 & Obie Trice)

17

Wanksta (Eminems Version)

18

One Day At A Time (Eminems Version) (feat

2Pac & the Outlawz)

Eminem – Unveröffentlicht und exklusiv (Vol

1) (2004)

01

8 Meile Rd

02

Schlechter Einfluss

03

Bussa Rhyme (feat

Missy)

04

Off The Wall (feat

Redman)

05

Jeder Mann

06

Zurückkommen (feat

D12)

07

Meine Worte sind Waffen (feat

D12)

08

Ich scheiß auf dich (feat

D12)

09

Bump Heads (feat

G-Unit)

10

Don’t Push Me (feat

50 Cent & Lloyd Banks)

11

Darf ich meckern? 12

Affe Siehe Affe tun

13

Jackin für Beats

14

Mord Mord

15

Forgot About Dre (feat

Dr

Dre)

16

Wenn ich eingesperrt werde

17

Nähere dich mir nicht (feat

Xzibit)

18

Geh schlafen (feat

D12)

19

Ave Mary (feat

50 Cent)

Eminem – Eminem ist zurück (2004)

01

Höllenhaft

02

Nuttin’ To Do (feat

Bad Meets Evil)

03

Sie ist die Eine (feat

Royce da 5’9′)

04

Three Six Five (feat

Old World Disorder)

05

Gruselfilme (feat

Bad Meets Evil)

06

Rush Ya Clique (feat

Outsidaz)

07

Hustlers & Hardcore (feat

Domingo)

08

Rock City (feat

Royce da 5’9′)

09

Macosa (feat

Outsidaz) (Demo)

10

Nuttin’ To Do (Feat

Bad Meets Evil) (saubere Radioversion)

11

Gruselfilme (feat

Bad Meets Evil)

Eminem – Zugabe (Shady Collectors Edition) (2004)

Scheibe 1:

01

Vorhang auf (Sketch) | 0:47

02

Böse Taten | 4:20

03

Nie genug (feat

50 Cent & Nate Dogg) | 2:40

04

Gelbe Backsteinstraße | 5:46

05

Wie Spielzeugsoldaten | 4:57

06.Mosch | 5:18

07

Kotze | 4:08

08

Meine 1

Single | 5:03

09

Paul (Sketch) | 0:32

10

Regenmann | 5:14

11

Großes Weenie | 4:27

12

Em Calls Paul (Sketch) | 1:12

13

Verliere es einfach | 4:09

14

So ein Arsch | 4:25

15

Spend Some Time (feat

50 Cent, Obie Trice & Stat Quo) | 5:11

16

Spottdrossel | 4:11

17

Verrückt in der Liebe | 4:02

18

One Shot 2 Shot (feat

D-12) | 4:27

19

Schlussgedanke (Sketch) | 0:30

20

Zugabe (Vorhänge) (feat

50 Cent & Dr

Dre) | 5:48

Scheibe 2:

01

Wir als Amerikaner | 4:38

02

Liebe dich mehr | 4:46

03

Ricky Ticky Toc | 2:50

Eminem – Vorhang auf: Die Hits (Deluxe Edition) (2005)

Scheibe 1:

01

Einführung | 0:34

02

Fack | 3:26

03

So wie ich bin | 4:51

04

Mein Name ist | 4:29

05

Stan (feat

Dido) | 6:44

06

Verliere dich | 5:26

07

Shake That (feat

Nate Dogg) | 4:34

08

Für den Moment singen | 5:40

09

Ohne mich | 4:51

10

Wie Spielzeugsoldaten | 4:56

11

Der echte Slim Shady | 4:45

12

Spottdrossel | 4:11

13

Schuldiges Gewissen (feat

Dr

Dre) | 3:20

14

Meinen Schrank aufräumen | 4:59

15

Verliere es einfach | 4:09

16

Wenn ich weg bin | 4:41

17

Stan (Live) (feat

Elton John) | 6:20

Scheibe 2:

01

Dead Wrong (Remix) (feat

Notorious B.I.G.) | 4:59

02

Vorbildfunktion | 3:27

03

Töte dich | 4:27

04

Scheiße auf dich (feat

D12) | halb 6

05

Verbrecher | 5:15

06

Renegade (feat

Jay Z) | 5:38

07

Gib einfach keinen Fick | 4:02

Eminem – Live-Sammlung (MTV Get Alive) (2005)

01

Clenin’ Out My [email protected] ’03 | 2:51

02

Verliere dich [email protected] ’03 | 2:46

03

Wie Toy [email protected] ’04 | 4:33

04

Ohne [email protected] Movie Awards ’02 | 4:23

05

Mein Name ist / Schuldiges Gewissen @ VMA ’99 | 2:20

06

Meine Band @ MTV Movie Awards ’04 | 5:23

07

[email protected] Spring Break ’00 | 3:19

08

Mein Name ist @MTV Spring Break ’00 | 4:24

09

Verliere es einfach @TRL ’04 | 3:22

10

Weißes Amerika @ VMA ’02 | 1:45

11

Meinen Schrank aufräumen @ VMA ’02 | 2:43

12

The Real Slim [email protected] ’00 | 2:38

Eminem – Die Anger Management Tour Live (2005)

01

Square Dance | 3:35

02

Geschäft | 2:34

03

Weißes Amerika | 2:59

04

Töte dich | 1:51

05

Wenn die Musik aufhört | 5:42

06

Zuhälter wie ich | 1:45

07

Kampfmusik | 2:10

08

Lila Pillen | 4:28

09

Stan | 3:39

10

So wie ich bin | 2:40

11

Soldat | 3:24

12

Meinen Schrank aufräumen | 2:56

13

Dre vergessen | 1:40

14

Tropfen | 2:53

15

Übermensch | 6:45

16

Drogenballade | 2:59

17

Geben Sie einfach kein A **** | 1:28

18

Für den Moment singen | 4:21

19

Ohne mich | 6:48

20

Mein Vater ist verrückt geworden | 7:13

Eminem – Rare Tracks (Band 1) (Bootleg) (2005)

01

Scary Movies (Feat

Royce Da 59 | 3:37

02

Nuttin To Do (Feat

Royce Da 59 | 4:10

03

Invasion (Feat

DJ Green Lantern) | 2:29

04

The Conspiracy (feat

DJ Green Lantern) | 2:46

05

The One (feat

Whoo Kid & Royce Da 59 | 2:58

06

Nail In The Coffin | 4:48

07

The Sauce | 3:34

08

What The Beat (Feat

DJ Clue, Method Man & Royce Da 59 | 3:05

09

What The Difference (Feat

Dr

Dre & Xzibit) | 4:04

10

Rabbit Run | 3:12

11

Till Hell Freezes Over | 3:16 12

We Are Americans | 4:58 13

Stimulate | 5:06 14

Stir Crazy (feat

The Madd Rapper) | 3:14 15

Rush Ya Clique (feat

The Outsidaz) | 4:31 16

The Kids | 5:03 17

Turn Me Loose (feat

Fred Durst) | 5:13 18

We All Die One Day (feat

50 Cent, Lloyd Banks & Obie Trice) | 5 :30 19

Watch Dees (feat

Thirstin Howl III)|3:38 20

These Drugs (feat

D12)|4:44 Eminem & D12 – Lost In London (Bootleg) (2006) 01 Proof & DJ Exclusive – Intro | 0:48 02 D12 London Takeover | 0:53 03 Eminem & Proof – Intro | 0:45 04. Eminem & Proof – Frees Stil | 2:08

05

Eminem & Beweis – Interview | 2:11

06

Eminem & Beweis – Kür | 2:02

07

Eminem & Beweis – Kür | 2:47

08

Beweis – Kür | 1:23

09

Freier Stil | 1:04

10

Beweis – Kür | 1:21

11

Freistil | 1:15

12

Freistil | 1:30

13

Beweis – Kür | 1:17

14

Eminem & Proof – Freistil | 2:09

15

Eminem & Proof – Freistil | 3:24

16

Eminem & Proof – Buggin’ Out | 4:56

17

Vorstellungsgespräch | 2:45

18

Eminem & D12

Vorstellungsgespräch | 5:05

19

Eminem & D12

Freistil | 1:32

20

Freistil | 0:35

21

Kuniva – Freistil | 0:40

22

Schnell – Freistil | 0:45

23

Beweis – Kür | 1:03

24

Kon Artis – Kür | 1:06

25

Swifty & Kuniva – Freistil | 1:36

26

Beweis – Kür | 3:07

27

Eminem & D12

Spricht über Jay-Z | 0:19

28

Eminem & D12

Freistil | 5:49

29

Stat Quo & Freistil | 2:06

30

Freier Stil | 0:56

31

Eminem & Proof – Freistil | 0:58

32

Stat Quo – Freistil | 0:52

33

Schnell – Freistil | 1:00

34

Freier Stil | 1:24

35

Obie Trice Intro | 1:38

36

Obie Trice – Kür | 1:57

37

Stat Quo & Freistil | 1:41

38

Stat Quo – Interview | 0:57

39

Eminem & Beweis – Freistil | 1:17

40

Freier Stil | 1:42

41

Freier Stil | 8:36

Eminem präsentiert The Re-Up (2006)

01

Eminem – Shady Narcotics (Intro)

02

Eminem, Obie Trice, Stat Quo, Bobby Creekwater & Cashis – Wir sind zurück

03

Obie Trice – Pistol Pistol (Remix)

04

Bizarr & Kuniva – Mord

05

Cashis – Alles ist schattig

06

Eminem & 50 Cent – The Re Up

07

50 Cent, Eminem, Lloyd Banks & Cashis – Sie wissen es nicht

08

Eminem & 50 Cent – Jimmy Crack Corn

09

Beweis – Gefangen

10

Mr

Porter & Swifty McVay – was auch immer Sie wollen

11

Cashis – Talkin’ All That

12

Stat Quo – An meiner Seite

13

Obie Trice & Cashis – Wir reiten für Shady

14

Bobby Creekwater – Da ist er

15

Stat Quo – Tryin‘ Ta Win

16

Akon, Bobby Creekwater & Stat Quo – Smack That (Remix)

17

Eminem – Staatsfeind Nr

1

18

Stat Quo – Niedrig werden

19

50 Cent – Ski Mask Way (Eminem-Remix)

20

Nate Dogg, Eminem, Obie Trice & Bobby Creekwater – Shake That (Remix)

21

Obie Trice, Kuniva, Bobby Creekwater, Cashis & Stat Quo – Cry Now (Shady Remix)

22

Eminem – Keine Entschuldigung

23

Stat Quo – Milliarden Dollar

Eminem – Live aus New York City (2007)

01

Backstage 1 | 5:03

02

Böse Taten | 2:41

03.Mosch | 3:19

04

Geschäft | 4:03

05

Regenmann | 1:47

06

So ein Arsch | 2:26

07

Kotze | 1:47

08

Töte dich | 1:48

09

Wie Spielzeugsoldaten | 3:29

10

Git Up (feat

D12) | 3:25

11

How Come (Feat

D12) | 6:07

12

Rock Star (Feat

Bizarre von D12) | 1:06

13

40 Unze

(feat

D12) | 4:16

14

Meine Band (feat

D12) | 4:21

15

Backstage 2 | 1:01

16

Stan | 2:00

17

So wie ich bin | 2:25

18

Gib einfach keinen Fick | 1:34

19

Got Some Teeth (feat

Obie Trice) | 2:13

20

Stay ‘Bout It (Aqua) (feat

Stat Quo) | 2:41

21

Die Einrichtung (feat

Stat Quo) | 2:53

22

Like Dat (feat

Stat Quo & Obie Trice) | 2:04

23

Meinen Schrank aufräumen | 1:33

24

Spottdrossel | 2:22

25

Verliere es einfach | 3:51

26

Backstage 3 | 1:56

27

Lose Yourself (feat

D12) | 6:35

Eminem – Rückfall (2009)

01

Dr West (Skit) | 1:30

02

3 Uhr morgens | 5:20

03

Meine Mutter | 5:20

04

Wahnsinnig | 3:01

05

Dudelsäcke aus Bagdad | 4:43

06

Hallo | 4:08

07

Tonya (Sketch) | 0:42

08

Gleiches Lied & Tanz | 4:07

09

Wir haben dich gemacht | 4:30

10

Medizinball | 3:57

11

Paul (Sketch) | 0:19

12

Bleib hellwach | 5:20

13

Old Time’s Sake (feat

Dr

Dre) | 4:38

14

Muss das Ganja sein | 4:03

15

Herr Mathers (Sketch) | 0:42

17

Schön | 6:33

18

Crack A Bottle (feat

Dr

Dre & 50 Cent) | 4:58

19

Steve Berman (Sketch) | 1:29

20

Untergrund | 6:11

21

Mein Liebling (Bonustrack) | 5:20

22

Pass auf, was du dir wünschst (Bonustrack) | 3:47

Guns ‘N’ Roses X Eminem – Sleaze: Mom’s Spaghetti Incident (2009)

01

ab

02

Verliere deinen Spaß

03

Da ist es mir scheißegal

04

Menschliches Geschäft

05

So ein neuer Arsch

06

Willkommen 2 Stan

07

Singe süßes Kind

08

Machtsoldaten

09

Mein sauberer Waffenschrank

10

Mr Anything Shady

11

Paradies gegangen

Dreminem (Dr

Dre & Eminem) – Live In Europe (2010)

01

Einführung | 0:30

02

Hirnschaden | 3:14

03

Tot falsch | 1:30

04

Nuthin’ But A G Thang | 1:46

05

Dre vergessen | 3:19

06

Was ist der Unterschied | 2:56

07

Zwischenspiel | 0:29

08

Die Wächter | 2:43

09

Immer noch D.R.E

| 3:19

10

Zwischenspiel | 0:45

11

Der echte Slim Shady | 4:20

12

Zwischenspiel | 1:37

13

Mein Name ist | 3:32

14

Ausgang | 0:18

15

Hasse mich jetzt | 5:17

16

4.3.2.1 | 10:22

Eminem – Live aus dem Comerica Park (2010)

01

Will nicht nachgeben / 3 Uhr morgens (Intro) | 6:56

02

Square Dance / W.T.P / Kill You | 4:51

03

Willkommen 2 Detroit (feat

Trick Trick) | 3:01

04

Keine Liebe / So schlecht | 4:47

05

Meinen Schrank aufräumen / So wie ich bin | 4:50

06

Wir sind zurück (Sketch) | 0:47

07

Kampfmusik / Purple Pills (Feat

D12) | 4:26

08

Meine Band (feat

D12) | 5:07

09

Flugzeuge, Pt

II / Stan (feat

B.o.B

& Liz Rodriguez) | 7:02 Uhr 10

Sing For The Moment / Like Toy Soldiers | 4:01

11

Für immer (feat

Drake) | 3:25

12

Geduldiges Warten (feat

50 Cent) | 3:31

13

Ich bekomme Geld / In Da Club | 4:47

14

Bis ich zusammenbreche / Aschenputtelmann | 5:19

15

Damen (Sketch) | 1:04

16

Love The Way You Lie (feat

Liz Rodriguez) | 4:23

17

Renegade (feat

Jay Z) | 2:52

18

My Name Is / The Next Episode / Still D.R.E

(feat

Dr

Dre) | 2:26

19

Nuthin’ But A G Thang / Detox (Skit) (feat

Dr

Dre) | 2:56

20

Crack A Bottle / The Real Slim Shady / Ohne mich | 5:53

21

Keine Angst | 6:37

22

Verliere dich selbst (Outro) | 8:34

Eminem – Erholung (2010)

01

Kalter Wind weht

02

Talkin’ 2 Myself (feat

Kobe)

03

In Flammen

04

Won’t Back Down (feat

P!nk)

05

W.T.P

06

Veränderungen durchmachen

07

Keine Angst

08

Verführung

09

Keine Liebe (feat

Lil Wayne)

10

Raumgebunden

11

Cinderella-Mann

12

25 Zum Leben

13

Also baden

14

Fast berühmt

15

Love The Way You Lie (feat

Rihanna)

16

Du bist nie vorbei

17

Ohne Titel

18

Ridaz (Bonustrack)

19

Session One (feat

Slaughterhouse) (Bonustrack) |

Eminem – The Shady Situation (2010)

01

Strangulation

02

In einem Krankenwagen abgeholt

See also  Top macbook pro 2013 verkaufen Update New

03

Verpiss mich

04

Gehen Sie rein

05

Aggressive Natur

06

Chronische Blätter

07

Dumm

08

Keine Bedrohungen mehr

09

1997 Rap Battle Styles

10

Langeweile in letzter Zeit

11

Heiß wie der Äquator

12

Sie will nichts von mir

13

Geisteszustand

14

Es spielt keine Rolle

Eminem – „Straight From The Vault“-EP (2011)

01

Der Volkschampion (Intro)

02

Geld bekommen

03

Emulate (feat

Obie Trice)

04

Ballin ‘Unkontrollierbar

05

Going Crazy (feat

D12)

06

WEE WEE

07

G.O.A.T

08

Der Apfel

09

Es war echt (Outro)

Eminem – The Marshall Mathers LP 2 (Deluxe Edition) (2013)

Scheibe 1:

01

Bösewicht

02

Parkplatz (Sketch)

03

Reim oder Grund

04

So viel besser

05

Überleben

06

Vermächtnis

07

Arschloch (feat

Skylar Grey)

08

Berzerk

09

Rap-Gott

10

Hirnlos

11

Stärker als ich war

12

Das Monster (feat

Rihanna)

13

Bisher..

14

Liebesspiel (feat

Kendrick Lamar)

15

Scheinwerfer (feat

Nate Ruess)

16

Böser Zwilling

Scheibe 2:

01

Baby 02

Verzweiflung (feat

Jamie N Commons)

03

Tag des Murmeltiers

04

Beautiful Pain (feat

Sia)

05

Wicked Ways (feat

X Botschafter)

VA – Shady XV (Best Buy Edition) (2014)

Scheibe 1:

01

Eminem – ShadyXV

02

Slaughterhouse – Psychopath Killer (feat

Eminem und Yelawolf)

03

Eminem – The Alone (feat

Kobe)

04

Schlecht trifft auf Böses – Vegas

05

Slaughterhouse – Ihr wisst es schon

06

Eminem – Guts Over Fear (feat

Sia)

07

Yelawolf – Unten

08

D12 – Fluch

09

Eminem – Feine Linie

10

Skylar Grey, Eminem und Yelawolf – Twisted

11

Eminem – Richtig für mich

12

Eminem, Royce da 5’9″, Big Sean, Danny Brown, DeJ Loaf und Trick-Trick – Detroit vs

Everybody

CD 2:

01

I Get Money (von Curtis, 2007) 02

Purple Hills (von Devil’s Night, 2001) 03

Lose Yourself (aus Music from and Inspired by the Motion Picture 8 Mile, 2002) 04

Cry Now (Shady Remix) (aus Eminem Presents: The Re-Up, 2006) 05

Let’s Roll (feat

Kid Rock) (aus Radioactive, 2011) 06

Hammer Dance (aus Welcome to: Our House, 2012) 07

PIMP (aus Get Rich or Die Tryin’, 2003 08 You Don’t Know (aus Eminem Presents: The Re -Up, 2006) 09 My Band (aus D12 World, 2004) 10 Wanna Know (aus Second Round’s on Me, 2006) 11 Wanksta (aus Music from and Inspired by the Motion Picture 8 Mile, 2002) 12

The Setup (feat

Nate Dogg) (aus Cheers, 2003) 13

In Da Club (aus Get Rich or Die Tryin’, 2003 14 Fight Music (aus Devil’s Night, 2001) 15 Pop the Trunk (aus Trunk Muzik 0-60, 2010) 16 Don’t Front (feat

Buckshot) 17 Lose Yours elf (Original-Demoversion) Eminem Revival (2017)

01

Auf dem Wasser gehen (feat

Beyonce)

02

Glauben

03

Chloraseptic (feat

Phresher)

04

Unberührbar

05

Fluss (feat

Ed Sheeran)

06

Erinnere mich (Intro)

07

Erinnere mich

08

Wiederbelebung (Zwischenspiel)

09

Like Home (feat

Alicia Keys)

10

Bad Husband (feat

X Botschafter)

11

Tragic Endings (feat

Skylar Grey)

12

Gerahmt

13

Nirgendwo schnell (feat

Kehlani)

14.Hitze

15

Beleidigt

16

Need Me (feat

Pink)

17

In deinem Kopf

18

Schloss

19

stand auf

Eminem – Kamikaze (2018)

01

Der Wecker

02

Größte

03

Lucky You (feat

Joyner Lucas)

04

Paul (Sketch)

05

Regelmäßig

06

Em Calls Paul (Sketch)

07

Sprungbrett

08

Not Alike (feat

Royce da 5’9″)

09

Fall

10

Kamikaze

11

Nice Guy (feat

Jessie Reyez)

12

Good Guy (feat

Jessie Reyez)

13

Venom (Music Aus dem Kinofilm

Eminem – Music To Be Murdered By (2020)

01

Premonition (Intro) 02

Unaccommodating feat

Young MA 03

You Gon’ Learn feat

Royce da 5’9″ & White Gold 04

Alfred ( Zwischenspiel) 05

These Kinda Nights feat

Ed Sheeran 06

In Too Deep 07

Godzilla feat

Juice WRLD 08

Darkness 09

Leaving Heaven feat

Skylar Grey 10

Yah Yah feat

Royce da 5’9″, Black Thought, Q-Tip & dEnAuN 11

Stepdad (Intro) 12

Stepdad 13

Marsh 14

Never Love Again 15

Little Engine 16

Lock It Up feat

Anderson. Paak 17

Farewell 18

No Regrets feat

Don Toliver 19

I Will feat

Royce da 5’9″, KXNG Crooked & Joell Ortiz 20

Alfred (Outro)

Eminem – Music To Be Murdered By – Side B (Deluxe) (2020)

CD1: 01

Alfred (Intro) 02

Black Magic (feat

Skylar Grey) 03

Alfred’s Theme 04

Tone Deaf 05

Book of Rhymes (feat

DJ Premier) 06

Favorite Bitch ( Kunststück

Ty Dolla $ign) 07

Guns Blazing (feat

Dr

Dre & Sly Pyper) 08

Gnat 09

Higher 10

These Demons (feat

Maj) 11

Key (Skit) 12

She Loves Me 13

Killer 14

Zeus (feat

White Gold) 15

So weit (Interlude) 16

Disombobulated

CD2: 01

Premonition (Intro) 02

Unaccommodating (feat

Young MA) 03

You Gon’ Learn (feat

Royce da 5’9″ & White Gold) 04

Alfred (Interlude) 05

These Kinda Nights (feat

Ed Sheeran) 06

In Too Deep 07

Godzilla (feat

Juice WRLD) 08

Darkness 09

Leaving Heaven (feat

Skylar Gray) 10

Yah Yah (feat

Royce da 5’9″, Black Thought, Q-Tip & dEnAuN) 11

Stepdad (Intro) 12

Stepdad 13

Marsh 14

Never Love Again 15

Little Engine 16

Lock It Up (feat

Anderson. Paak) 17

Farewell 18

No Regrets (feat

Don Toliver) 19

I Will (feat

Royce da 5’9″, KXNG Crooked & Joell Ortiz) 20

Alfred (Outro)

01

Public Service Announcement 200002

Kill You03

Stan [Featuring Dido]04

Paul [Skit]05

Who [ Mit RBX & Stickey Fingaz] 10

I’m Back 11

Marshall Mathers 12

Ken Kaniff [Skit] 13

Drug Ballad 14

Amityville [mit Bizarre von D-12] 15

Bitch Please II [mit Dr

Dre, Snoop , Xzibit & Nate Dogg] 16

Kim 17

Unter dem Einfluss [Feature D-12] 18

Verbrecher

Fred V \u0026 Grafix \u0026 Metrik – Tension (ft. Kate Westall) New Update

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Neue Informationen zum Thema metrik griff

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 Update  Fred V \u0026 Grafix \u0026 Metrik - Tension (ft. Kate Westall)
Fred V \u0026 Grafix \u0026 Metrik – Tension (ft. Kate Westall) Update

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Metrik DJ Set – visuals by Rebel Overlay (UKF On Air: Hyper Vision) Update

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Neues Update zum Thema metrik griff

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metrik griff Ähnliche Bilder im Thema

 Update  Metrik DJ Set - visuals by Rebel Overlay (UKF On Air: Hyper Vision)
Metrik DJ Set – visuals by Rebel Overlay (UKF On Air: Hyper Vision) Update

Die RB Leipzig Fancommunity – RB-Fans.de Update

Die Pressekonferenz zum vierten Unentschieden gegen die SGE in Folge. Kicker – Whoscored – Sofacore – Understat – RBL – Bundesliga – FotMob. Statistik RB Leipzig: Gulácsi (C) – Simakan, Orban, Gvardiol – Henrichs, Laimer (84.Haidara), Kampl (60. Forsberg), Angeliño – Olmo (84.

+ Details hier sehen

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Leipzig – (21.03.2022) 4

Platz, verpasste aber eine große Chance

Trotz einer Vielzahl an Chancen kommt Leipzig nicht über ein 0:0 gegen Frankfurt hinaus

Zwei Pfostenschüsse und anderes Pech verhindern ein Tor

Nach der Länderspielpause wird es knackig! Vor dem Spiel ist vor dem Spiel

Der Tanz in den Hammer April? Mehr als 10 Tage und doch ist es Leipzigs letztes Pflichtspiel im März

Nachdem Freiburg und die TSG gestern die Federn verloren und Tedesco eine ganze Woche Vorbereitung auf die Eintracht hatte, war die Richtung klar: Sieg und bestenfalls Aufstieg auf Platz drei

Volle Hüte – auch wenn noch ein paar Plätze frei blieben

Denn nicht alle trauten dem bevorstehenden Tag der Freiheit oder befanden sich gar in Quarantäne

Ein seltsamer Begriff in Zeiten, in denen Fälle in die Tausende gehen und Schulen zusammengestrichen werden

Logischerweise hat nun die Ukraine Priorität auf der Medienbühne – auch in Leipzig wurde heute wieder gespendet

Zurück zum Fußball

Tedesco hatte in der Formation fast freie Hand, nur Klostermann traf und so sollte die nominell beste Elf gegen die Eintracht dribbeln, weshalb Olmo Forsberg und Kampl Haidara ersetzten

Glasner sogar mit nur einer Anpassung nach den 120 Minuten gegen Betis und den Zwang: Rode startete für die gelbgesperrte Sau

>>> zum Liveticker

Triade des Spiels

Eintracht, wie man sie kennt, stark und bissig (21 Fouls) gegen den Ball und versucht, durch Umschaltmomente, Flanken und Standards Gefahr zu erzeugen, was ihnen am Ende einen Punkt brachte

Leipzig mit einer Großchance (Laimer) und zwei Pfostendistanzschüssen (Simakan, Laimer) und vielen Halbchancen, die nicht richtig zu Ende gespielt wurden – letztlich etwas zu wenig

Die Effizienz der letzten Wochen fehlte heute, der Hauptgrund dafür, dass es zum dritten Mal in Folge nur zu einem geteilten Punkt zu Hause reichte

Auch vor dem Frankfurter Tor ging es zeitweise chaotisch zu

Der Dreier besten Kicker aus der schönsten Stadt der Welt

Olmo: Ziehte hinter Silva und Nkunku die Fäden und inszenierte die Angriffe, auch er hatte zeitweise Probleme mit der Präzision, war aber wie kaum ein anderer auf dem Feld schwer vom Ball zu trennen (11 von 17 Duellen gewonnen, 7 von 10 8 Dribblings erfolgreich)

Nach seiner Einwechslung wurde das Leipziger Spiel deutlich unstrukturierter

Laimer: Schade, dass er seine große Chance (von Trapp fabelhaft pariert) nicht verwerten und seinen Distanzschuss nicht ein paar Zentimeter platzieren konnte

Laimer nicht nur defensiv wichtig, sondern auch offensiv immer wertvoller für die Mannschaft

Simakan: Stürzte sich in viele Zweikämpfe – doppelt so viele wie die Spartaner, was schon was will – und gewann 11 von 14 Duellen

Außerdem hatte er Pech bei seinem Abschluss, der von Trapp an den Pfosten gelenkt wurde

Olmo von der Eintracht schwer zu kontrollieren

Luft nach oben

Silva: Solide mit Olmo und Nkunku, aber die Schüsse waren eines Top-Torjägers nicht würdig

Poulsen machte es danach nicht besser, nur noch schlimmer, als er wild durch den Strafraum dribbelte und den Abschluss nicht fand

Mit 15 Toren in dieser Saison ist das auf hohem Niveau natürlich etwas gejammert, aber nur ein Tor in den letzten sechs Ligaspielen ist momentan etwas zu wenig

Henrichs: War gegen die SGE weniger offensiv, auch weil er musste Kostic verteidigen, was ihm angesichts der Kreuzquote von Kostic (0%) ganz gut gelang

Immer noch nicht sein bestes Spiel

Kategorie schlecht gealtert

SGE-Fans sind zurück in der Bundesliga 🔥 #RBLSGE pic.twitter.com/b2nWk6nfhk — DAZN DE (@DAZN_DE) 20

März 2022

Wenn du dich ein bisschen zu sehr ärgern willst. .

Dann führte zum Beef des Spiels

.Tweet des Spiels

Bis auf den Siegtreffer hatte dieses Spiel so ziemlich alles, was am Fußball gut ist

Also ich habe es genossen

In den letzten Wochen gab es immer Spiele, in denen man Glück hatte, Punkte zu holen, aber heute hatte man Pech

War nicht sehr effizient

#rblsge — rotebrauseblogger (@rotebrauseblog) 20

März 2022

Abgesehen von der Effizienz gab es nicht viel zu meckern

Champagner statt Bier – die Fans

Endlich wieder eine volle Hütte

Das bedeutete nach mehr als zwei Jahren auch, dass die RB-Fans den Umgang mit der neuen Stehplatztribüne gelernt haben, die mittlerweile überfüllt (Corona-Welle einmal…) über 10.000 Menschen fit ist

Garniert wurde das Ganze mit einer Choreo aus der Fanszene – „Chaotic Life – Fantastic Striving“ und jeder Menge Fahnen

Auf jeden Fall viel hübscher als die Rauchschwaden, die zu Beginn aus dem halbvollen Frankfurter Fanblock zogen – Dinge, die man in der Corona-Phase überhaupt nicht vermisst hat… Umso erstaunlicher, dass auch DAZN diese Pyro-Mission gefeiert und gefeiert hat am Ende huldigten ihm die SGE-Fans fast kultig

Online gab es natürlich Beef mit der RBL-Fanszene

Abgesehen davon war trotz des 0:0 etwas Stimmung in der Kabine, auch wenn hier und da noch Luft nach oben war (Songauswahl)

Die Spenden flossen jedenfalls in großer Zahl.

Wir wissen noch nicht, wie viel ihr heute gesammelt habt..

Aber es sieht wieder nach einer sauberen Leistung aus! DANKE an alle, die ihre Becher oder Geldspenden gegeben haben

#stattreipunkte #Rasenballhilft #RBLSGE @fanveRBand @rb_fans @RBLeipzig @rasenballisten pic.twitter.com/xhPXNOYJfe — Sportfreunde Leipzig e

V

(@SportfreundeL) 20

März 2022

#RasenballHelps

Pfiff des Spiels

Dingert mit einer schönen Bilanz

Unter seiner Führung hatte Frankfurt (ohne Abstieg) noch kein Auswärtsspiel in der Bundesliga (0-1-5) gewonnen, während Leipzig in keinem Wettbewerb ein Heimspiel verloren hatte (4-1-0)

Die Auslosung hielt beide Serien

Nun ja

Im Spiel ließ Dingert viel laufen, entschied sich aber gegen Ende der zweiten Halbzeit dafür, den Frankfurtern mehr Karten zu zeigen, was mit 6 zu 21 Fouls angemessen war

Wirklich schlimme Fouls gab es kaum

Silva nur ein Tor in den letzten sechs Bundesligaspielen

Aufgefallen

1) Vier Punkte, die am Ende nochmal richtig weh tun können

Bei den anstehenden Aufgaben wäre RBL mit zwei Heimsiegen gegen Freiburg und Frankfurt gut beraten gewesen, so gab es nur zwei Unentschieden

Nun muss sich Leipzig in den direkten Duellen gegen Leverkusen und Hoffenheim strecken und das nach den sicherlich anspruchsvollen Duellen gegen Bergamo

Die Ausgangslage im Rennen um die CL-Plätze ist nicht besser geworden

2) 23 Scorerpunkte waren bereits als Einwechselspieler für Marsch (9) und Tedesco (14) eingewechselt worden

Erster der Liga, aber heute kam niemand dazu

Im Gegensatz zu Fürth und Freiburg war die Bank nicht sehr inspirierend

Poulsen nicht besser als ein überschaubarer effizienter Silva, Szoboszlai und meist Forsberg können Olmo nicht das Wasser reichen und auch Haidara fällt in der CM etwas zurück

Im April braucht RBL aber von allen das Maximum, damit Tedesco ein bisschen rotieren kann

Auf der anderen Seite holte die SGE auch ohne Rotation und mit 120 Minuten in den Beinen einen Punkt – aber einen schmeichelhaften.

Nkunku mit ein paar Entscheidungsschwächen

Dass der SGE das Spiel in Leipzig bestreiten würde, war nicht zu erwarten

Die Laufstärke, die Euphorie des Weiterkommens und die allgemeine Mentalität der Eintracht-Kicker führten letztlich zu einigen Kilometern mehr (auch weil sie oft hinter dem Ball herlaufen mussten), obwohl RBL mehr Sprints hatte.

4) Viertes Unentschieden in Folge gegen die SGE, RBL ist gegen Frankfurt seit sechs Spielen sieglos

Frankfurt ist jetzt sechs Spiele ohne Sieg in Leipzig, Glasner ist jetzt acht Spiele ohne Sieg gegen Leipzig

Bei so viel ohne Sieg musste ein Unentschieden herauskommen

Es wäre schön, wenn RBL bei nächster Gelegenheit gegen Frankfurt gewinnen würde – nur zur Abwechslung…

Abschied von der Länderspielpause

5) Die Formkurven vor dem Spiel sind gar nicht so unterschiedlich

Frankfurt laufmäßig besser und mit einer soliden Torbilanz, Leipzig defensiv und reifer im Spielaufbau

Dies war auch im Feld zu sehen

Von den Flankengöttern der Liga war dagegen wenig zu sehen, Kostic wurde von Henrichs abgemeldet (keine Flanke kam) und Angel erreichte seinen Mitspieler nur einmal

Zu den mehr als 300 Hereingaben in dieser Saison kamen noch 13 hinzu – etwa der erwartete Durchschnitt

6) Auch wenn es nicht zum Sieg gereicht hat, der Sonntagsdip scheint vorbei zu sein

Tedesco bis zum Frankfurt-Spiel noch ohne Niederlage an einem Sonntag mit RBL, jetzt zumindest noch ungeschlagen

Vor Marschs Amtsantritt gab es sonntags eine Serie von 19 Spielen ohne Niederlage

Möge es noch lange dauern…

#RBLSGE

Center-Zahlen geben die Fläche als Prozentsatz der Fläche des Ligadurchschnitts der Saison an

pic.twitter.com/yDPbb9Lty9 — BStat (@michael_karbach) 20

März 2022

In jeder Hinsicht überlegen, nur keine Tore

7) Während Leverkusen einen Last-Minute-Sieg feierte, verpasste auch der BVB die Chance der Bayern, näher heranzukommen dies trotz Haaland in der Startelf

Die letzte Chance auf einen Titel scheint also nun der Borussia davonzuschwimmen

Eine Heimniederlage gegen Leipzig wäre wohl das i-Tüpfelchen der Saison..

Da darf man sich was wünschen!

8) Nachdem Marsch beim Zechpreller FC zwei Last-Minute-Siege eingefahren hat, scheint es an der Zeit, ein wenig in Richtung Leipzig zu schießen

Er fühlte sich nicht wirklich wohl und hatte nicht das Gefühl, zu LE zu gehören

Das verwundert angesichts des herzlichen Zuspruchs (Kurvenaufruf nach dem ersten Heimsieg plus Vorwissen aus dem Co-Trainer-Jahr) etwas

Dass die Luft nach den Leistungen der Hinrunde immer dünner wird, dürfte ihn allerdings nicht verwundern

Kippt das Spielglück in Leeds noch einmal um, kann es in England schnell anders aussehen..

Zumal sich die Sprüche schon sehr ähneln

Laimer hatte noch die beste Chance und traf den Pfosten

9) Jetzt erste Länderspielpause und mit dass eine ganze Armada von Leipziger Kickern unterwegs ist

Fast die gesamte erste Elf wird unterwegs sein

Nkunku erhielt seine erste Anstellung, Henrichs kehrt in den Kreis der „Mannschaft“ zurück

Da bleibt Tedesco nur noch eine Skeletttruppe

Nicht die besten Voraussetzungen für den April, aber Nationalspieler herauszuholen ist letztlich auch für Leipzig ein Selbstzweck, denn so bleibt der Verein im Kampf um die Talente attraktiv

Unglaubliche Entscheidungsfindung bei den Deals

Im Vergleich zu längeren Ballbesitzphasen erzeugt #RBL durch Umschaltmomente mehr Torgefahr

@Eintracht holt unter der Woche nach 120 Minuten einen außerplanmäßigen Punkt – Philipp Hinze (@philipphinze24) 20

März 2022

Zwischen Chancenwucher und schwachen Entscheidungen

Fazit & Ausblick

Leipzig dürfte mit dem Punkt mehr zu kämpfen haben als Frankfurt, die sich wohl nur über die schlechte Umsetzung ihrer Konter ärgerten

Mit den Pfostentreffern, der großen Chance von Laimer und insgesamt deutlich über einem xG war RBL dem Sieg näher.

In der Tabelle ist eigentlich nichts passiert

Leverkusen hinkt erneut etwas hinterher, kann aber noch im direkten Duell eingeholt werden

Hoffenheim und Freiburg sitzen Leipzig im Nacken

Nominell hätte Frankfurt an diesem Wochenende der stärkste Gegner der Vierergruppe werden müssen

Das bedeutet allerdings auch, dass ein später Saison-Stolper dich noch sehr schnell die CL-Qualifikation kosten kann

Was also tun? Verbesserung der Chancengenerierung und -umwandlung, Annäherung der zweiten Reihe an die erste Reihe und natürlich keuchender April

Der April wird die entscheidende Zeit der Saison, der Monat der Entscheidungen

Sekt oder Selters – die Rasenballer haben es noch ganz in der Hand! Die Pressekonferenz zum vierten Unentschieden gegen die SGE in Folge.

Kicker – Whoscored – Sofacore – Understat – RBL – Bundesliga – FotMob

Statistiken

RB Leipzig: Gulácsi (C) – Simakan, Orban, Gvardiol – Henrichs, Laimer (84

Haidara), Kampl (60

Forsberg), Angeliño – Olmo (84

Szoboszlai) – Silva (72

Poulsen), Nkunku

SG Eintracht Frankfurt: Trapp – Tuta, Hinteregger, N’Dicka – Knauff (80

Lenz), Jakić, Rode (46

Hrustić), Kostić – Lindstrøm (66

Hauge), Kamada (89

Ilsanker) – Borré (89

Lammers)

Schiedsrichter: Christian Dingert (Lebecksmühle)

Ziele: Keine

Schüsse aufs Tor: 15 / 5

Schüsse aufs Tor: 7 / 0

Erwartete Tore: 1,3 / 0,3

Bestehensquote: 82 % / 78 %

Duellquote: 67 % / 33 %

Ballbesitz: 55 % / 45 %

Laufleistung: 114,1 km / 118,7 km

Sprints: 264 / 242 Fouls: 6 / 21 Ecken: 3 / 2 Abseits: 3 / 1 Gelbe Karten: Laimer (2) / N’Dicka, Hauge, Jakić, Hinteregger, Hrustić

Zuschauer: 43.058

Rumpelstilzchen

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